Seja B=\{P(x), Q(x), R(x)\} o subconjunto de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) constituído pelos polinômios
P(x)=1+x, Q(x)=1+2 x, R(x)=x^{2}
(a) Mostre que B e uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto B=\{P(x),Q(x),R(x)\} de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) formado pelos polinômios
P(x)=1+x,\qquad Q(x)=1+2x,\qquad R(x)=x^{2}.
A pergunta (a) é: mostrar que B é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Informações relevantes: os polinômios estão em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), que é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 2.
Passo 2
Definição e estratégia (explicando as ideias passo a passo).
Uma família de vetores (ou polinômios) é base de um espaço vetorial quando satisfaz duas propriedades simultâneas: é linearmente independente e gera (faz o span) do espaço.
Outra forma prática: se o espaço tem dimensão \dim=3 e temos 3 vetores, basta provar que eles são linearmente independentes; então automaticamente formam uma base.
Observação útil: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão \;3\; porque um polinômio genérico de grau \le 2 tem três coeficientes independentes (os coeficientes de 1, de x e de x^{2}); por exemplo a família padrão \{1,x,x^{2}\} é base e tem 3 elementos.
Vou então mostrar que os três polinômios P,Q,R são linearmente independentes. Isso será suficiente para concluir que B é base. Para ficar ainda mais didático, depois mostro explicitamente que qualquer polinômio de grau \le 2 pode ser escrito como combinação linear de P,Q,R (ou seja, mostro que geram).
Passo 3
Provar linear independência por comparação de coeficientes (passo a passo).
Considere uma combinação linear que dê o polinômio zero:
a\,P(x)+b\,Q(x)+c\,R(x)=0\quad\text{para alguns }a,b,c\in\mathbb{R}.
Substituindo P,Q,R obtemos
a(1+x)+b(1+2x)+c x^{2}=0.
Somando os termos semelhantes, a igualdade fica
(a+b) + (a+2b)\,x + c\,x^{2} = 0.
Passo 4
Usar a propriedade “polinômios iguais têm coeficientes iguais” para obter um sistema.
Como o polinômio à esquerda é igual ao polinômio identicamente zero, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero. Assim temos o sistema
Resolver o sistema explicitamente (sem pular etapas).
Da terceira equação segue imediatamente
c=0.
Comparando as duas primeiras equações, subtraindo a primeira da segunda:
(a+2b)-(a+b)=0-0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Substituindo b=0 em a+b=0 dá
a+0=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Portanto a=b=c=0. Isso mostra que a única combinação linear que produz o polinômio zero é a trivial, logo P,Q,R são linearmente independentes.
Passo 6
Concluir que B é base usando a dimensão (explicando por que isso vale).
Como \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão \;3\; e B contém exatamente 3 vetores que são linearmente independentes, segue que B é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). (Regra: em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é uma base.)
Passo 7
Complemento didático: mostrar explicitamente que B\) gera \(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\) (opcional, mas útil para a prova).
Tome um polinômio arbitrário
\[S(x)=\alpha + \beta x + \gamma x^{2},\qquad \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
Da segunda menos a primeira vem t=\beta-\alpha\] e então \(s=\alpha-t=2\alpha-\beta. Além disso u=\gamma. Portanto, para quaisquer \alpha,\beta,\gamma existem s,t,u que expressam S como combinação linear de P,Q,R. Logo B gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).]
Resposta
B=\{1+x,\;1+2x,\;x^{2}\} é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).