- Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Seja
. Se
é uma base de
e
é uma base de
, mostre que
e
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
-
e são subespaços de um espaço vetorial . - Tem-se
. -
é uma base de . -
é uma base de .
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
. - Mostrar que
é uma base de .
Passo 2
Relembrando (explicando passo a passo) alguns conceitos que usarei:
- Definição de soma direta:
significa duas coisas: -
, isto é, todo pode ser escrito como com e . -
, ou seja, a interseção é apenas o vetor nulo.
-
- Definição de base: um conjunto
é base de um subespaço quando -
é linearmente independente; -
(ou seja, gera ).
-
- Observação útil: uma base nunca contém o vetor nulo. Porque se
então já existe uma combinação linear não trivial que dá zero (por exemplo ), o que contradiz a independência linear.
Passo 3
Provar
.
Argumento:
- Suponha, por contradição, que exista
. Então e , logo . - Mas como
sabemos que . Portanto . - Isso é impossível, porque
e são bases e, como lembrado, uma base não contém o vetor nulo. - Conclusão: a hipótese deu contradição; logo não existe tal
. Assim .
Passo 4
Provar que
gera
(ou seja,
).
Argumento passo a passo:
- Tome qualquer
. - Como
, existem e tais que . - Como
é base de , existe uma combinação linear finita de elementos de que exprime . Ou seja, existem escalares (quase todos zero) com - De forma análoga, como
é base de , existem escalares com - Somando as duas expressões obtemos
que é exatamente uma combinação linear de elementos de . - Como
era arbitrário em , segue que gera .
Passo 5
Provar que
é linearmente independente.
Argumento detalhado:
- Suponha que exista uma combinação linear finita dos vetores de
que dá zero: onde quase todos os escalares e são zero. - Defina
A igualdade acima fica . - Então
. Como e , o vetor pertence à interseção . - Mas
, portanto e . - Agora use a independência de
: como e é uma combinação linear dos vetores de , todos os coeficientes devem ser zero. - Do mesmo modo, como
e é uma combinação linear dos vetores de , todos os coeficientes devem ser zero. - Conclusão: a única combinação linear de elementos de
que dá zero é a combinação trivial (todos coeficientes zero). Logo é linearmente independente.
Passo 6
Juntando os resultados, provamos que
é um conjunto linearmente independente que gera
, ou seja, é uma base de
.