1. Sejam W_{1} e W_{2} subespaços de um espaço vetorial V. Seja V=W_{1} \oplus W_{2}. Se B_{1} é uma base de W_{1} e B_{2} é uma base de W_{2}, mostre que B_{1} \cap B_{2}=\emptyset e B_{1} \cup B_{2} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • W_{1} e W_{2} são subespaços de um espaço vetorial V.
  • Tem-se V = W_{1} \oplus W_{2}.
  • B_{1} é uma base de W_{1}.
  • B_{2} é uma base de W_{2}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que B_{1}\cap B_{2}=\emptyset.
  2. Mostrar que B_{1}\cup B_{2} é uma base de V.

Passo 2

Relembrando (explicando passo a passo) alguns conceitos que usarei:
  • Definição de soma direta: \,V = W_{1}\oplus W_{2}\, significa duas coisas:
    • \,V = W_{1} + W_{2}\,, isto é, todo v\in V pode ser escrito como v = w_{1}+w_{2} com w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2}.
    • \,W_{1}\cap W_{2}=\{0\}\,, ou seja, a interseção é apenas o vetor nulo.
  • Definição de base: um conjunto B é base de um subespaço U quando
    • B é linearmente independente;
    • \operatorname{span}(B)=U (ou seja, B gera U).
  • Observação útil: uma base nunca contém o vetor nulo. Porque se 0\in B então já existe uma combinação linear não trivial que dá zero (por exemplo 1\cdot 0=0), o que contradiz a independência linear.

Passo 3

Provar B_{1}\cap B_{2}=\emptyset.
Argumento:
  • Suponha, por contradição, que exista v\in B_{1}\cap B_{2}. Então v\in W_{1} e v\in W_{2}, logo v\in W_{1}\cap W_{2}.
  • Mas como V=W_{1}\oplus W_{2} sabemos que W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Portanto v=0.
  • Isso é impossível, porque B_{1} e B_{2} são bases e, como lembrado, uma base não contém o vetor nulo.
  • Conclusão: a hipótese deu contradição; logo não existe tal v. Assim B_{1}\cap B_{2}=\emptyset.

Passo 4

Provar que B_{1}\cup B_{2} gera V (ou seja, \operatorname{span}(B_{1}\cup B_{2})=V).
Argumento passo a passo:
  • Tome qualquer v\in V.
  • Como V = W_{1}+W_{2}, existem w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2} tais que v = w_{1}+w_{2}.
  • Como B_{1} é base de W_{1}, existe uma combinação linear finita de elementos de B_{1} que exprime w_{1}. Ou seja, existem escalares \alpha_{b} (quase todos zero) com w_{1}=\sum_{b\in B_{1}}\alpha_{b}\,b.
  • De forma análoga, como B_{2} é base de W_{2}, existem escalares \beta_{c} com w_{2}=\sum_{c\in B_{2}}\beta_{c}\,c.
  • Somando as duas expressões obtemos v = w_{1}+w_{2} = \sum_{b\in B_{1}}\alpha_{b}\,b + \sum_{c\in B_{2}}\beta_{c}\,c,que é exatamente uma combinação linear de elementos de B_{1}\cup B_{2}.
  • Como v era arbitrário em V, segue que B_{1}\cup B_{2} gera V.

Passo 5

Provar que B_{1}\cup B_{2} é linearmente independente.
Argumento detalhado:
  • Suponha que exista uma combinação linear finita dos vetores de B_{1}\cup B_{2} que dá zero: \sum_{b\in B_{1}}\alpha_{b}\,b + \sum_{c\in B_{2}}\beta_{c}\,c = 0,onde quase todos os escalares \alpha_{b} e \beta_{c} são zero.
  • Defina w_{1} := \sum_{b\in B_{1}}\alpha_{b}\,b \in W_{1}, \qquad w_{2} := \sum_{c\in B_{2}}\beta_{c}\,c \in W_{2}.A igualdade acima fica w_{1}+w_{2}=0.
  • Então w_{1} = -w_{2}. Como w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2}, o vetor w_{1} pertence à interseção W_{1}\cap W_{2}.
  • Mas W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, portanto w_{1}=0 e w_{2}=0.
  • Agora use a independência de B_{1}: como w_{1}=0 e w_{1} é uma combinação linear dos vetores de B_{1}, todos os coeficientes \alpha_{b} devem ser zero.
  • Do mesmo modo, como w_{2}=0 e w_{2} é uma combinação linear dos vetores de B_{2}, todos os coeficientes \beta_{c} devem ser zero.
  • Conclusão: a única combinação linear de elementos de B_{1}\cup B_{2} que dá zero é a combinação trivial (todos coeficientes zero). Logo B_{1}\cup B_{2} é linearmente independente.

Passo 6

Juntando os resultados, provamos que B_{1}\cup B_{2} é um conjunto linearmente independente que gera V, ou seja, é uma base de V.

Resposta

\,B_{1}\cap B_{2}=\emptyset\n \,B_{1}\cup B_{2}\text{ é uma base de }Vé

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