- Seja
o subconjunto de
constituído pelos polinômios
(c) Calcule as coordenadas do vetor
nesta base.
Passo 1
O enunciado dá a base
do espaço
com
e pede: calcular as coordenadas do polinômio
na base
. Em outras palavras, encontrar os escalares (coeficientes) que expressam
como combinação linear de
.
Passo 2
O que significa "coordenadas na base
"? Significa encontrar números reais
tais que
Esses números
serão as coordenadas de
na base
. Vou escrever explicitamente essa igualdade e resolver pelos coeficientes.
Passo 3
Substituindo
na combinação linear fica
Agora desenvolvo e agrupo termos semelhantes (constante,
,
):
Como dois polinômios são iguais se, e só se, os coeficientes de cada potência de
coincidirem, obtemos o sistema
Passo 4
Resolvo o sistema obtido. Da terceira equação já vem
Das duas primeiras, subtraindo a primeira da segunda:
Com
e
segue
Portanto
.
Passo 5
Faço uma checagem rápida recombinando:
que é exatamente
. Logo a decomposição está correta.