1. Seja B=\{P(x), Q(x), R(x)\} o subconjunto de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) constituído pelos polinômios
P(x)=1+x, Q(x)=1+2 x, R(x)=x^{2}
(c) Calcule as coordenadas do vetor 2+2 x-x^{2} nesta base.

Passo 1

O enunciado dá a base B=\{P(x),Q(x),R(x)\} do espaço \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) com
P(x)=1+x,\qquad Q(x)=1+2x,\qquad R(x)=x^2,
e pede: calcular as coordenadas do polinômio
S(x)=2+2x-x^2
na base B. Em outras palavras, encontrar os escalares (coeficientes) que expressam S(x) como combinação linear de P,Q,R.

Passo 2

O que significa "coordenadas na base B"? Significa encontrar números reais a,b,c tais que
S(x)=a\,P(x)+b\,Q(x)+c\,R(x).
Esses números a,b,c serão as coordenadas de S na base B. Vou escrever explicitamente essa igualdade e resolver pelos coeficientes.

Passo 3

Substituindo P,Q,R na combinação linear fica
a(1+x)+b(1+2x)+c\,x^2 = 2+2x-x^2.
Agora desenvolvo e agrupo termos semelhantes (constante, x, x^2):
(a+b) + (a+2b)\,x + c\,x^2 = 2 + 2x - x^2.
Como dois polinômios são iguais se, e só se, os coeficientes de cada potência de x coincidirem, obtemos o sistema
\begin{cases} a+b = 2,\\[4pt] a+2b = 2,\\[4pt] c = -1. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema obtido. Da terceira equação já vem
c=-1.
Das duas primeiras, subtraindo a primeira da segunda:
(a+2b)-(a+b)=b=0.
Com b=0 e a+b=2 segue
a=2.
Portanto (a,b,c)=(2,0,-1).

Passo 5

Faço uma checagem rápida recombinando:
2P+0\cdot Q-1\cdot R = 2(1+x)-x^2 = 2+2x-x^2,
que é exatamente S(x). Logo a decomposição está correta.

Resposta

(2,0,-1)_B

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