Seja W um subespaço de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] e \mathcal{B}=\left\{1+t, 1-t^{2}\right\} uma base de W. Estenda o conjunto \mathcal{B} para uma base \mathcal{B}^{\prime}=\left\{1+t, 1-t^{2}, p(t)\right\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t], onde p(t) é um polinômio à sua escolha que garanta a independência linear do conjunto.
Determine a base \mathcal{C} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] tal que a matriz de mudança de base seja:
W é um subespaço de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
\mathcal{B}=\{\,1+t,\;1-t^{2}\,\} é uma base de W.
Foi pedido para estender \mathcal{B} a uma base \mathcal{B}^{\prime}=\{\,1+t,\;1-t^{2},\;p(t)\,\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t], escolhendo um polinômio p(t) que garanta independência linear do conjunto.
Em seguida, determinar uma base \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] tal que a matriz de mudança de base seja
Escolher um p(t) que complete \mathcal{B} para uma base \mathcal{B}' de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
Encontrar \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} tal que cada coluna da matriz acima seja a coordenada, na base \mathcal{C}, do respectivo vetor de \mathcal{B}'.
Passo 2
Interpretação da matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}}.
A notação [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}} significa: para qualquer vetor v,
Escolha de p(t) para completar \mathcal{B} a uma base \mathcal{B}'.
Temos liberdade para escolher p(t) desde que p(t)\notin\operatorname{span}\{1+t,\,1-t^{2}\}. Uma escolha simples conveniente é
p(t)=t^{2},
porque t^{2} não é combinação linear de 1+t e 1-t^{2} (verificação rápida: qualquer combinação a(1+t)+b(1-t^{2}) tem termo constante a+b, termo em t igual a a, termo em t^{2} igual a -b; não há escolha de a,b que faça constante 0, coeficiente de t igual 0 e coeficiente de t^{2} igual 1 simultaneamente). Assim \mathcal{B}'=\{1+t,\,1-t^{2},\,t^{2}\} é base de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
Agora utilizamos as igualdades do passo anterior com p(t)=t^{2}.
Passo 4
Escrever as equações vetoriais em \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] e resolver para c_{1},c_{2},c_{3}.
Temos o sistema de identidades (cada igualdade é entre polinômios):
Multiplicando a matriz formada por essas colunas por 12 temos uma matriz inteira cuja determinante é -144 (cálculo direto), logo a determinante da matriz original é -\tfrac{1}{12}, não nula. Portanto c_{1},c_{2},c_{3} são linearmente independentes e formam uma base de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].]