Seja W um subespaço de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] e \mathcal{B}=\left\{1+t, 1-t^{2}\right\} uma base de W. Estenda o conjunto \mathcal{B} para uma base \mathcal{B}^{\prime}=\left\{1+t, 1-t^{2}, p(t)\right\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t], onde p(t) é um polinômio à sua escolha que garanta a independência linear do conjunto.
Determine a base \mathcal{C} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] tal que a matriz de mudança de base seja:
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • W é um subespaço de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
  • \mathcal{B}=\{\,1+t,\;1-t^{2}\,\} é uma base de W.
  • Foi pedido para estender \mathcal{B} a uma base \mathcal{B}^{\prime}=\{\,1+t,\;1-t^{2},\;p(t)\,\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t], escolhendo um polinômio p(t) que garanta independência linear do conjunto.
  • Em seguida, determinar uma base \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] tal que a matriz de mudança de base seja
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O enunciado pede, portanto:
  1. Escolher um p(t) que complete \mathcal{B} para uma base \mathcal{B}' de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
  2. Encontrar \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} tal que cada coluna da matriz acima seja a coordenada, na base \mathcal{C}, do respectivo vetor de \mathcal{B}'.

Passo 2

Interpretação da matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}}.
A notação [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}} significa: para qualquer vetor v,
[v]_{\mathcal{C}}=[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}^{\prime}}[v]_{\mathcal{B}^{\prime}}.
Assim, as colunas desta matriz são exatamente as coordenadas, na base \mathcal{C}, dos vetores da base \mathcal{B}'. Ou seja:
  • a 1ª coluna é [\,1+t\,]_{\mathcal{C}},
  • a 2ª coluna é [\,1-t^{2}\,]_{\mathcal{C}},
  • a 3ª coluna é [\,p(t)\,]_{\mathcal{C}}.
Escrevendo as colunas explicitamente:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo, as relações entre \mathcal{B}' e \mathcal{C} são:
\begin{aligned} 1+t &= 1\cdot c_{1} + 1\cdot c_{2} + 2\cdot c_{3},\\\\ 1-t^{2} &= 2\cdot c_{1} -1\cdot c_{2} -1\cdot c_{3},\\\ p(t) &= 0\cdot c_{1} +3\cdot c_{2} +1\cdot c_{3}. \end{aligned}

Passo 3

Escolha de p(t) para completar \mathcal{B} a uma base \mathcal{B}'.
Temos liberdade para escolher p(t) desde que p(t)\notin\operatorname{span}\{1+t,\,1-t^{2}\}. Uma escolha simples conveniente é
p(t)=t^{2},
porque t^{2} não é combinação linear de 1+t e 1-t^{2} (verificação rápida: qualquer combinação a(1+t)+b(1-t^{2}) tem termo constante a+b, termo em t igual a a, termo em t^{2} igual a -b; não há escolha de a,b que faça constante 0, coeficiente de t igual 0 e coeficiente de t^{2} igual 1 simultaneamente). Assim \mathcal{B}'=\{1+t,\,1-t^{2},\,t^{2}\} é base de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].
Agora utilizamos as igualdades do passo anterior com p(t)=t^{2}.

Passo 4

Escrever as equações vetoriais em \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t] e resolver para c_{1},c_{2},c_{3}.
Temos o sistema de identidades (cada igualdade é entre polinômios):
\begin{aligned} c_{1}+c_{2}+2c_{3} &= 1+t, \tag{1}\\\\ 2c_{1}-c_{2}-c_{3} &= 1-t^{2}, \tag{2}\\\\ 3c_{2}+c_{3} &= t^{2}. \tag{3} \end{aligned}
A igualdade (3) permite escrever c_{3} em função de c_{2}:
c_{3}=t^{2}-3c_{2}. \tag{4}
Substituindo (4) em (1):
c_{1}+c_{2}+2(t^{2}-3c_{2}) = 1+t
\Rightarrow c_{1}-5c_{2}+2t^{2}=1+t.
Assim
c_{1}=1+t+5c_{2}-2t^{2}. \tag{5}
Substituindo (4) em (2):
2c_{1}-c_{2}-(t^{2}-3c_{2})=1-t^{2}
\Rightarrow 2c_{1}+2c_{2}-t^{2}=1-t^{2}
\Rightarrow 2c_{1}+2c_{2}=1.
Dividindo por 2:
c_{1}+c_{2}=\tfrac{1}{2}. \tag{6}
Agora igualamos (5) e (6) para eliminar c_{1}. Da (6) obtemos c_{1}=\tfrac{1}{2}-c_{2}. Igualando com (5):
\tfrac{1}{2}-c_{2}=1+t+5c_{2}-2t^{2}.
Reorganizando:
-6c_{2} = \tfrac{1}{2} + t - 2t^{2}.
Logo
c_{2} = -\frac{1}{6}\Big(\tfrac{1}{2}+t-2t^{2}\Big) = -\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{6}t + \tfrac{1}{3}t^{2}.
Com c_{2} em mãos, da (6) obtemos
c_{1}=\tfrac{1}{2}-c_{2} = \tfrac{1}{2} -\Big(-\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{6}t + \tfrac{1}{3}t^{2}\Big) = \tfrac{7}{12} + \tfrac{1}{6}t - \tfrac{1}{3}t^{2}.
E da (4):
c_{3}=t^{2}-3c_{2} = t^{2}-3\Big(-\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{6}t + \tfrac{1}{3}t^{2}\Big) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}t.
Portanto encontramos candidatos para a base \mathcal{C}:
\begin{aligned} c_{1} &= \tfrac{7}{12} + \tfrac{1}{6}t - \tfrac{1}{3}t^{2},\\\ c_{2} &= -\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{6}t + \tfrac{1}{3}t^{2},\\\ c_{3} &= \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}t. \end{aligned}

Passo 5

Verificação (independência e consistência com a matriz dada).
  1. Verificar que as combinações dão os vetores de \mathcal{B}'.
  • Para 1+t: calcule c_{1}+c_{2}+2c_{3}. Substituindo os polinômios encontrados verifica-se (facilmente, termo a termo) que resulta exatamente em 1+t.
  • Para 1-t^{2}: calcule 2c_{1}-c_{2}-c_{3}. Substituindo também resulta exatamente em 1-t^{2}.
  • Para t^{2}: calcule 3c_{2}+c_{3}. Substituindo resulta exatamente em t^{2}.
Essas verificações confirmam que as colunas da matriz fornecida são as coordenadas de \mathcal{B}' na base \mathcal{C}, conforme definido.
  1. Verificar que \mathcal{C} é de fato uma base (vetores linearmente independentes).
Escrevendo as coordenadas de c_{1},c_{2},c_{3} na base padrão \{1,t,t^{2}\}:
c_{1}\leftrightarrow \begin{pmatrix}\tfrac{7}{12}\\[4pt]\tfrac{1}{6}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad c_{2}\leftrightarrow \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{12}\\[4pt]-\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad c_{3}\leftrightarrow \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Multiplicando a matriz formada por essas colunas por 12 temos uma matriz inteira cuja determinante é -144 (cálculo direto), logo a determinante da matriz original é -\tfrac{1}{12}, não nula. Portanto c_{1},c_{2},c_{3} são linearmente independentes e formam uma base de \mathcal{P}_{2}^{\mathbb{R}}[t].]

Resposta

\mathcal{C}=\left\{\tfrac{7}{12}+\tfrac{1}{6}t-\tfrac{1}{3}t^{2},\; -\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{6}t+\tfrac{1}{3}t^{2},\; \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}t\right\}

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