Exercício 04: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes.
(1) p \rightarrow q
(2) q \rightarrow r
(3) \neg r \vee s

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três fórmulas proposicionais:
\begin{aligned} (1)\\ & p \rightarrow q,\\\ (2)\\ & q \rightarrow r,\\\ (3)\\ & \neg r \vee s. \end{aligned}
O que se pede: demonstrar que esse conjunto é consistente. Em outras palavras, mostrar que existe pelo menos uma atribuição de valores de verdade às proposições p,q,r,s que torna todas as três fórmulas verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 2

Escolha do método: a maneira mais direta e simples para este tipo de problema é apresentar explicitamente uma atribuição (valoração) dos valores de verdade para as proposições e verificar que, sob essa valoração, as três fórmulas ficam verdadeiras. Outra opção seria construir uma tabela-verdade completa (mais trabalho) ou usar dedução/resolução (mais abstrato). Vou usar a atribuição explícita porque é mais rápido e pedagógico para a prova.

Passo 3

Mini-aula sobre semântica das conectivas que apareceram (para usar corretamente ao avaliar).
  • Implicação: a fórmula \alpha \rightarrow \beta vale F (falsa) somente quando \alpha vale T e \beta vale F; em todos os outros casos vale T. Em especial, se \alpha vale F então \alpha \rightarrow \beta vale T (essa é uma propriedade importante: uma implicação com antecedente falso é verdadeira).
  • Disjunção: a fórmula \alpha \vee \beta vale T se pelo menos uma das partes vale T; vale F só quando ambas são F.
  • Negação: \neg \alpha vale T quando \alpha vale F, e vale F quando \alpha vale T.
Vou usar essas regras para avaliar as três fórmulas numa valoração concreta.

Passo 4

Proponho a valoração v definida por
v(p)=F,\qquad v(q)=F,\qquad v(r)=F,\qquad v(s)=F.
Agora avalio as três fórmulas sob v:
  • Avaliação de \,p \rightarrow q\, sob v:
    v(p)=F,\\ v(q)=F\quad\Rightarrow\quad F \rightarrow F = T.
    (pelo caso da implicação com antecedente falso, a implicação vale T.)
  • Avaliação de \,q \rightarrow r\, sob v:
    v(q)=F,\\ v(r)=F\quad\Rightarrow\quad F \rightarrow F = T.
  • Avaliação de \,\neg r \vee s\, sob v:
    v(r)=F\quad\Rightarrow\quad v(\neg r)=T.
    Logo
    v(\neg r \vee s)=T \vee F = T.
Portanto, sob a valoração v proposta, as três fórmulas valem todas T.

Passo 5

Foi exibida uma valoração que torna simultaneamente verdadeiras as três fórmulas. Segundo a definição, isso mostra que existe uma interpretação que satisfaz o conjunto dado.

Resposta

O conjunto é consistente. Exemplo de valoração que satisfaz todas as fórmulas: v(p)=F,\\ v(q)=F,\\ v(r)=F,\\ v(s)=F.

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