Exercício 04: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de três fórmulas proposicionais:
O que se pede: demonstrar que esse conjunto é consistente. Em outras palavras, mostrar que existe pelo menos uma atribuição de valores de verdade às proposições
que torna todas as três fórmulas verdadeiras ao mesmo tempo.
Passo 2
Escolha do método: a maneira mais direta e simples para este tipo de problema é apresentar explicitamente uma atribuição (valoração) dos valores de verdade para as proposições e verificar que, sob essa valoração, as três fórmulas ficam verdadeiras. Outra opção seria construir uma tabela-verdade completa (mais trabalho) ou usar dedução/resolução (mais abstrato). Vou usar a atribuição explícita porque é mais rápido e pedagógico para a prova.
Passo 3
Mini-aula sobre semântica das conectivas que apareceram (para usar corretamente ao avaliar).
- Implicação: a fórmula
vale (falsa) somente quando vale e vale ; em todos os outros casos vale . Em especial, se vale então vale (essa é uma propriedade importante: uma implicação com antecedente falso é verdadeira). - Disjunção: a fórmula
vale se pelo menos uma das partes vale ; vale só quando ambas são . - Negação:
vale quando vale , e vale quando vale .
Vou usar essas regras para avaliar as três fórmulas numa valoração concreta.
Passo 4
Proponho a valoração
definida por
Agora avalio as três fórmulas sob
:
-
Avaliação de
sob : (pelo caso da implicação com antecedente falso, a implicação vale.) -
Avaliação de
sob : -
Avaliação de
sob : Logo
Portanto, sob a valoração
proposta, as três fórmulas valem todas
.
Passo 5
Foi exibida uma valoração que torna simultaneamente verdadeiras as três fórmulas. Segundo a definição, isso mostra que existe uma interpretação que satisfaz o conjunto dado.
Resposta
O conjunto é consistente. Exemplo de valoração que satisfaz todas as fórmulas:
.