Exercício 04: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes.
(1) x=2 \vee x=3
(2) x \neq 2 \vee x \neq 3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os dois conjuntos (cada um contendo uma fórmula) são consistentes. Especificamente, as fórmulas são:
  • (1) x=2 \vee x=3
  • (2) x \neq 2 \vee x \neq 3
Vou listar o que temos e o que é pedido:
  • Temos duas fórmulas (cada uma considerada como um conjunto unitário de proposições).
  • Pedem-se provas de consistência: isto é, para cada conjunto, mostrar que existe uma estrutura (modelo) e uma atribuição de variáveis que tornam a fórmula verdadeira simultaneamente (ou seja, demonstrar satisfatibilidade sem levar a contradição).

Passo 2

Definição semântica básica (explicada devagarinho). Uma fórmula é satisfatível (ou o conjunto é consistente) se existe um modelo \mathcal{M} e uma atribuição de variáveis s tais que \mathcal{M},s\models (a fórmula) — isto significa que, sob essa interpretação, a fórmula fica verdadeira.
Como avaliar as fórmulas que aparecem aqui:
  • Um modelo \mathcal{M} consiste de um domínio D (um conjunto não vazio) e uma interpretação I que atribui a cada símbolo de constante um elemento de D. Aqui vamos interpretar os símbolos 2 e 3 como constantes (elementos do domínio).
  • Uma atribuição s dá a cada variável (aqui x) um elemento de D.
  • Avaliação de igualdade: \mathcal{M},s\models x=2 significa que s(x)=I(2).
  • Avaliação de desigualdade: \mathcal{M},s\models x\neq 2 significa que s(x)\neq I(2).
  • Avaliação de disjunção: \mathcal{M},s\models \varphi\vee\psi ocorre quando pelo menos uma das fórmulas \varphi ou \psi é verdadeira em \mathcal{M},s.
Com isso claro, a estratégia para provar consistência é exibir explicitamente um modelo \mathcal{M} e uma atribuição s que tornam cada fórmula verdadeira.

Passo 3

Construção de um modelo para (1). Vou dar um modelo bem simples e concreto:
  • Tome o domínio D=\{a,b\} (dois elementos distintos).
  • Defina a interpretação I por I(2)=a e I(3)=b (ou seja, a constante 2 denota a e a constante 3 denota b; escolha-os distintos).
  • Escolha a atribuição s com s(x)=a.
Agora avalio a fórmula \;x=2\vee x=3\; em \mathcal{M},s:
  • Primeiro ver se \mathcal{M},s\models x=2. Como s(x)=a e I(2)=a, temos s(x)=I(2), logo \mathcal{M},s\models x=2 é verdadeira.
  • Portanto a disjunção \mathcal{M},s\models x=2\vee x=3 é verdadeira (basta um dos disjuntos ser verdadeiro).
Concluímos que existe um modelo e uma atribuição que satisfazem a fórmula (1). Logo o conjunto \{\,x=2\vee x=3\,\} é consistente.

Passo 4

Construção de um modelo para (2). Podemos usar o mesmo modelo anterior:
  • Dominio D=\{a,b\}, I(2)=a, I(3)=b.
  • Agora escolha a atribuição s com s(x)=a (a mesma escolha).
Avaliação de \;x\neq 2\vee x\neq 3\; em \mathcal{M},s:
  • Verificamos \mathcal{M},s\models x\neq 2? Não, porque s(x)=a e I(2)=a, então x\neq 2 é falsa nessa atribuição.
  • Verificamos \mathcal{M},s\models x\neq 3? Sim, porque s(x)=a e I(3)=b e a\neq b, então x\neq 3 é verdadeira.
  • Como pelo menos um dos disjuntos é verdadeiro, a disjunção \mathcal{M},s\models x\neq 2\vee x\neq 3 é verdadeira.
Portanto existe um modelo e uma atribuição que satisfazem a fórmula (2). Logo o conjunto \{\,x\neq 2\vee x\neq 3\,\} é consistente.
Observação intuitiva (sem variar a prova): não é necessário que uma fórmula seja verdadeira em todos os modelos para ser consistente — basta existir pelo menos um modelo que a satisfaça. No caso (2), se em algum modelo I(2)=I(3) (isto é, as constantes denotarem o mesmo elemento) então para a atribuição que dá esse elemento a x a disjunção seria falsa; mas isso não impede a existência de outros modelos (como os que construí) em que a fórmula é verdadeira. Consistência só exige existência.

Passo 5

Resumo final da ideia prática (para a prova): para provar consistência de uma (ou várias) fórmulas, construa um modelo simples (domínio pequeno, interprete as constantes de maneira conveniente) e escolha uma atribuição para as variáveis que torne cada fórmula verdadeira. Mostrar um exemplo concreto é uma prova válida de consistência.

Resposta

(1) consistente
(2) consistente

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