Exercício 04: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes.
(1)
(2)
(1)
(2)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os dois conjuntos (cada um contendo uma fórmula) são consistentes. Especificamente, as fórmulas são:
- (1)
- (2)
Vou listar o que temos e o que é pedido:
- Temos duas fórmulas (cada uma considerada como um conjunto unitário de proposições).
- Pedem-se provas de consistência: isto é, para cada conjunto, mostrar que existe uma estrutura (modelo) e uma atribuição de variáveis que tornam a fórmula verdadeira simultaneamente (ou seja, demonstrar satisfatibilidade sem levar a contradição).
Passo 2
Definição semântica básica (explicada devagarinho). Uma fórmula é satisfatível (ou o conjunto é consistente) se existe um modelo
e uma atribuição de variáveis
tais que
(a fórmula) — isto significa que, sob essa interpretação, a fórmula fica verdadeira.
Como avaliar as fórmulas que aparecem aqui:
- Um modelo
consiste de um domínio (um conjunto não vazio) e uma interpretação que atribui a cada símbolo de constante um elemento de . Aqui vamos interpretar os símbolos e como constantes (elementos do domínio). - Uma atribuição
dá a cada variável (aqui ) um elemento de . - Avaliação de igualdade:
significa que . - Avaliação de desigualdade:
significa que . - Avaliação de disjunção:
ocorre quando pelo menos uma das fórmulas ou é verdadeira em .
Com isso claro, a estratégia para provar consistência é exibir explicitamente um modelo
e uma atribuição
que tornam cada fórmula verdadeira.
Passo 3
Construção de um modelo para (1). Vou dar um modelo bem simples e concreto:
- Tome o domínio
(dois elementos distintos). - Defina a interpretação
por e (ou seja, a constante denota e a constante denota ; escolha-os distintos). - Escolha a atribuição
com .
Agora avalio a fórmula
em
:
- Primeiro ver se
. Como e , temos , logo é verdadeira. - Portanto a disjunção
é verdadeira (basta um dos disjuntos ser verdadeiro).
Concluímos que existe um modelo e uma atribuição que satisfazem a fórmula (1). Logo o conjunto
é consistente.
Passo 4
Construção de um modelo para (2). Podemos usar o mesmo modelo anterior:
- Dominio
, , . - Agora escolha a atribuição
com (a mesma escolha).
Avaliação de
em
:
- Verificamos
? Não, porque e , então é falsa nessa atribuição. - Verificamos
? Sim, porque e e , então é verdadeira. - Como pelo menos um dos disjuntos é verdadeiro, a disjunção
é verdadeira.
Portanto existe um modelo e uma atribuição que satisfazem a fórmula (2). Logo o conjunto
é consistente.
Observação intuitiva (sem variar a prova): não é necessário que uma fórmula seja verdadeira em todos os modelos para ser consistente — basta existir pelo menos um modelo que a satisfaça. No caso (2), se em algum modelo
(isto é, as constantes denotarem o mesmo elemento) então para a atribuição que dá esse elemento a
a disjunção seria falsa; mas isso não impede a existência de outros modelos (como os que construí) em que a fórmula é verdadeira. Consistência só exige existência.
Passo 5
Resumo final da ideia prática (para a prova): para provar consistência de uma (ou várias) fórmulas, construa um modelo simples (domínio pequeno, interprete as constantes de maneira conveniente) e escolha uma atribuição para as variáveis que torne cada fórmula verdadeira. Mostrar um exemplo concreto é uma prova válida de consistência.
Resposta
(1) consistente
(2) consistente
(2) consistente