Encontre uma base para o subespaço \left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; w-x-y=0\right. e \left.z=x-y\right\}. Estenda a uma base do \mathbb{R}^{4}. Qual a dimensão do subespaço?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Encontrar uma base para o subespaço S=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid w-x-y=0\\ \text{e}\\ z=x-y\}.
  2. Estender essa base a uma base de \mathbb{R}^4.
  3. Determinar a dimensão de S.
As informações dadas (as restrições sobre as coordenadas) são:
w-x-y=0
e
z=x-y.
Não vamos resolver nada ainda; apenas registrei o que é pedido e as equações fornecidas.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever as equações para expressar as coordenadas dependentes em função de algumas coordenadas livres. As duas equações são
w=x+y
e
z=x-y.
Aqui eu isolei w e já tenho z dado. Isso significa que, se escolhermos x e y livremente, então z e w ficam determinados por x e y.

Passo 3

Escrevo um vetor genérico de S em função de x e y:
(x,y,z,w)=(x,y,x-y,x+y).
Agora vou separar os termos com x e com y para ver a combinação linear:
(x,y,x-y,x+y)=x\,(1,0,1,1)+y\,(0,1,-1,1).
Explicando: multipliquei x por cada coordenada do vetor (1,0,1,1) e somei com y multiplicado por (0,1,-1,1); a soma dá exatamente (x,y,x-y,x+y).

Passo 4

Pelo que encontramos, todo vetor de S é combinação linear de
v_1=(1,0,1,1)\quad\text{e}\quad v_2=(0,1,-1,1).
Agora precisamos verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (para poderem ser uma base). Lembre-se: dois vetores são linearmente independentes se a única solução de a v_1 + b v_2 = 0 for a=b=0.

Passo 5

Faço a verificação de independência resolvendo a combinação nula:
a(1,0,1,1)+b(0,1,-1,1)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema nas coordenadas:
\begin{cases} a=0,\\[4pt] b=0,\\[4pt] a-b=0,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já vem a=0 e b=0. As outras duas são satisfeitas por esses valores. Logo a única solução é a=b=0, ou seja, v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 6

Como v_1 e v_2 geram S (todo vetor de S é combinação linear deles) e são independentes, eles formam uma base de S. Isso nos dá imediatamente a dimensão de S: o número de vetores na base é 2, então \dim(S)=2.

Passo 7

Agora vamos estender essa base a uma base de \mathbb{R}^4. Precisamos adicionar dois vetores a \{v_1,v_2\} de modo que o conjunto total tenha quatro vetores linearmente independentes. Uma escolha simples é tomar vetores que tenham zeros nas duas primeiras coordenadas, por exemplo
v_3=(0,0,1,0)\quad\text{e}\quad v_4=(0,0,0,1).
Vou verificar que \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é linearmente independente.

Passo 8

Considere a combinação linear nula
a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a = 0,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a - b + c = 0,\\[4pt] a + b + d = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem a=0 e b=0. Substituindo nas duas últimas obtemos c=0 e d=0. Portanto a única solução é a=b=c=d=0, logo os quatro vetores são independentes.]

Passo 9

Quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4 formam uma base de \mathbb{R}^4. Assim \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é uma base de \mathbb{R}^4 que estende a base de S.

Resposta

\{(1,0,1,1),\,(0,1,-1,1)\}
\{(1,0,1,1),\,(0,1,-1,1),\,(0,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}
\dim(S)=2

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