Seja W um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{3} dado por W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-2 y+4 z=0\right\}. Obtenha uma base \{u, v, w\} do \mathbb{R}^{3} tal que u, v \in W.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^3 definido por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+4z=0\}.
A tarefa é: obter uma base \{u,v,w\} de \mathbb{R}^3 tal que u e v pertençam a W (ou seja, escolher dois vetores em W e completar por um terceiro que forme uma base de \mathbb{R}^3).
Informações relevantes fornecidas:
A condição linear que define W é x-2y+4z=0.
Queremos três vetores em \mathbb{R}^3 que sejam linearmente independentes, com os dois primeiros satisfazendo a equação acima.
Passo 2
Vou parametrizar os vetores de W. A equação x-2y+4z=0 pode ser reescrita isolando x:
x = 2y - 4z.
Isso mostra que y e z são livres (parâmetros). Seja y=t e z=s com t,s\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de W é
(x,y,z) = (2t-4s,\; t,\; s).
Passo 3
Vou escrever esse vetor em forma de combinação linear dos parâmetros t e s. Reagrupando:
(2t-4s,\; t,\; s) = t(2,1,0) + s(-4,0,1).
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (2,1,0) e (-4,0,1). Portanto esses dois vetores geram W. Vou tomar
u=(2,1,0),\qquad v=(-4,0,1).
Passo 4
Preciso verificar que u\) e \(v\) são linearmente independentes (para serem uma base de \(W\)). Teste de independência: suponha que existam \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha u + \beta v = 0.
Da segunda equação \alpha=0\] e da terceira \(\beta=0. Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, logo u e v são linearmente independentes. Assim \{u,v\} é uma base de W (dimensão 2), como esperado.]
Passo 5
Agora preciso escolher um vetor w\in\mathbb{R}^3 que NÃO pertença a W, de modo que \{u,v,w\} seja um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 (ou seja, uma base). Uma forma prática: escolher um vetor simples e verificar que ele não satisfaz x-2y+4z=0.
Escolho, por exemplo,
w=(1,0,0).
Verifico se w está em W: para w temos x-2y+4z = 1-2\cdot 0 +4\cdot 0 = 1\neq 0. Logo w\notin W.
Passo 6
Resta mostrar que \{u,v,w\}=\{(2,1,0),(-4,0,1),(1,0,0)\} é linearmente independente. Uma maneira direta é calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores; se o determinante for não nulo, os vetores são independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.
Calculo o determinante. Observando a terceira coluna tem entrada apenas na primeira linha, uso expansão por essa coluna: só o elemento a_{1,3}=1 é não nulo, e seu cofator é o determinante da submatriz obtida eliminando linha 1 e coluna 3:
Como \det(A)=1\neq 0, os três vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.]
Passo 7
Conclusão: escolhemos u=(2,1,0) e v=(-4,0,1) que pertencem a W e são linearmente independentes, e escolhemos w=(1,0,0) que não pertence a W. O conjunto \{u,v,w\} é linearmente independente em \mathbb{R}^3 (determinante igual a 1), logo é uma base de \mathbb{R}^3.