Exercício 16. Determine a solução geral do sistema linear homogêneo
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-z & =0 \\\\ 4 x+5 y+2 z & =0 \\\\ -2 x+y+4 z & =0 \end{aligned}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Sistema homogêneo com incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} 3x+2y-z=0,\\[4pt] 4x+5y+2z=0,\\[4pt] -2x+y+4z=0. \end{cases}
O que o enunciado pede: determinar a solução geral do sistema (ou seja, descrever todos os vetores ((x,y,z)] que satisfazem as três equações).]
Passo 2
Comentário rápido sobre a estratégia (sem resolver ainda): como o sistema é linear homogêneo, podemos escrever a matriz dos coeficientes e aplicar eliminação de Gauss para encontrar dependências entre as variáveis. Vou fazer operações elementares sobre as linhas para triangular a matriz e então expressar algumas variáveis em função de outras (variáveis livres).
Observação importante: as linhas 2 e 3 agora são idênticas, ou seja, a terceira equação é redundante. Isso indica que o posto da matriz é 2 (menor que 3), então o espaço de soluções tem dimensão maior que zero — esperamos uma família de soluções com uma parâmetro livre.
Da linha 2 (ou 3) temos a equação
\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}z=0.
Multiplicando por 3 para ficar mais simples:
7y+10z=0.
Passo 5
Resolver a equação obtida para y em função de z. Isolando y:
7y = -10z \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{10}{7}z.
Neste ponto z é uma variável livre (não há equação que a determine), então vamos parametrizá‑la mais adiante.
Passo 6
Agora usar a primeira equação para expressar x em função de y e z. A primeira equação é
3x+2y-z=0.
Substituindo y=-\dfrac{10}{7}z nessa equação:
3x + 2\!\left(-\frac{10}{7}z\right) - z = 0.
Fazendo as contas:
3x - \frac{20}{7}z - z = 0.
Somando os termos em z (colocando em denominação comum):
-\frac{20}{7}z - z = -\frac{20}{7}z - \frac{7}{7}z = -\frac{27}{7}z.