Mostre que o conjunto
, onde
é uma transformação linear, é um subespaço vetorial de
, onde
é um autovalor de
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Temos um espaço vetorial
sobre um corpo (campo) (por exemplo ou ). - Temos uma transformação linear
. Lembrar que “linear” significa que, para quaisquer e quaisquer escalares , vale
- Foi dado um escalar
que é autovalor (valor próprio) de . Isso significa que existe pelo menos um vetor não-nulo tal que . - Define-se o conjunto
O que o problema pede: mostrar que
é um subespaço vetorial de
.
Informações úteis que já temos (sem começar a provar ainda): propriedades da linearidade de e a definição de subespaço (ver passo seguinte).
Informações úteis que já temos (sem começar a provar ainda): propriedades da linearidade de
Passo 2
Lembrando a definição prática de “subespaço”: um subconjunto
é subespaço se e somente se (i)
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero), (ii) é fechado sob soma de vetores e (iii) é fechado sob multiplicação por escalares. Vou verificar essas três propriedades para
.
Primeira propriedade:
contém o vetor zero.
- Pela linearidade, sabemos que
. Posso ver isso assim: para qualquer e escalar ,
- Então
, ou seja, satisfaz a condição . Portanto . Assim não é vazio.
Passo 3
Segunda propriedade: fechamento por soma. Quero provar que, se
e
, então
.
- A hipótese
significa . A hipótese significa . - Use a linearidade de
para calcular . Pela linearidade,
- Substituindo as igualdades acima,
- Como
, segue que . Assim é fechado sob soma.
Passo 4
Terceira propriedade: fechamento por multiplicação por escalar. Quero provar que, se
e
(qualquer escalar), então
.
- Hipótese:
. - Novamente use a linearidade de
para obter
- Substituindo
,
já que
e
são escalares e a multiplicação é comutativa no campo
.
- Portanto
, isto é, . Assim é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Resumo das verificações (sem repetir a conclusão final):
-
(contei o vetor zero); - fechado sob soma (se
então ); - fechado sob multiplicação por escalares (se
e então ).
Essas três propriedades são exatamente o critério padrão para um subconjunto ser subespaço.
Passo 6
Observação adicional (interpretativa, útil para prova e para a prova em exames): pode-se ver
como o núcleo de um operador linear. Defina
, onde
é a identidade (
). Então
é linear (diferença de transformações lineares) e
Como núcleo de uma transformação linear,
é automaticamente subespaço. Essa é uma maneira compacta e elegante de lembrar o resultado.