Mostre que o conjunto V_{\lambda}=\{v \in V ; T(v)=\lambda v\}, onde T: V \rightarrow V é uma transformação linear, é um subespaço vetorial de V, onde \lambda é um autovalor de T.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Temos um espaço vetorial V sobre um corpo (campo) \mathbb{F} (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • Temos uma transformação linear T: V \to V. Lembrar que “linear” significa que, para quaisquer x,y\in V e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{F}, vale
T(ax+by)=a\,T(x)+b\,T(y).
  • Foi dado um escalar \lambda\in\mathbb{F} que é autovalor (valor próprio) de T. Isso significa que existe pelo menos um vetor não-nulo v\in V tal que T(v)=\lambda v.
  • Define-se o conjunto
V_{\lambda}=\{v\in V \mid T(v)=\lambda v\}.
O que o problema pede: mostrar que V_{\lambda} é um subespaço vetorial de V.
Informações úteis que já temos (sem começar a provar ainda): propriedades da linearidade de T e a definição de subespaço (ver passo seguinte).

Passo 2

Lembrando a definição prática de “subespaço”: um subconjunto W\subseteq V é subespaço se e somente se (i) W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero), (ii) é fechado sob soma de vetores e (iii) é fechado sob multiplicação por escalares. Vou verificar essas três propriedades para V_{\lambda}.
Primeira propriedade: V_{\lambda} contém o vetor zero.
  • Pela linearidade, sabemos que T(0)=0. Posso ver isso assim: para qualquer v\in V e escalar 0\in\mathbb{F},
T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.
  • Então T(0)=0=\lambda\cdot 0, ou seja, 0 satisfaz a condição T(0)=\lambda 0. Portanto 0\in V_{\lambda}. Assim V_{\lambda} não é vazio.

Passo 3

Segunda propriedade: fechamento por soma. Quero provar que, se u\in V_{\lambda} e v\in V_{\lambda}, então u+v\in V_{\lambda}.
  • A hipótese u\in V_{\lambda} significa T(u)=\lambda u. A hipótese v\in V_{\lambda} significa T(v)=\lambda v.
  • Use a linearidade de T para calcular T(u+v). Pela linearidade,
T(u+v)=T(u)+T(v).
  • Substituindo as igualdades acima,
T(u+v)=\lambda u + \lambda v = \lambda(u+v).
  • Como T(u+v)=\lambda(u+v), segue que u+v\in V_{\lambda}. Assim V_{\lambda} é fechado sob soma.

Passo 4

Terceira propriedade: fechamento por multiplicação por escalar. Quero provar que, se v\in V_{\lambda} e c\in\mathbb{F} (qualquer escalar), então c v\in V_{\lambda}.
  • Hipótese: T(v)=\lambda v.
  • Novamente use a linearidade de T para obter
T(c v)=c\,T(v).
  • Substituindo T(v)=\lambda v,
T(c v)=c\,(\lambda v)=(c\lambda)\,v=\lambda\,(c v),
já que \lambda e c são escalares e a multiplicação é comutativa no campo \mathbb{F}.
  • Portanto T(c v)=\lambda (c v), isto é, c v\in V_{\lambda}. Assim V_{\lambda} é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Resumo das verificações (sem repetir a conclusão final):
  • 0\in V_{\lambda} (contei o vetor zero);
  • fechado sob soma (se u,v\in V_{\lambda} então u+v\in V_{\lambda});
  • fechado sob multiplicação por escalares (se v\in V_{\lambda} e c\in\mathbb{F} então c v\in V_{\lambda}).
    Essas três propriedades são exatamente o critério padrão para um subconjunto ser subespaço.

Passo 6

Observação adicional (interpretativa, útil para prova e para a prova em exames): pode-se ver V_{\lambda} como o núcleo de um operador linear. Defina S=T-\lambda I, onde I:V\to V é a identidade ( I(v)=v). Então S é linear (diferença de transformações lineares) e
V_{\lambda}=\ker(S)=\{v\in V\mid S(v)=0\}.
Como núcleo de uma transformação linear, V_{\lambda} é automaticamente subespaço. Essa é uma maneira compacta e elegante de lembrar o resultado.

Resposta

V_{\lambda} é um subespaço de V.

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