Seja
não-vazio e limitado. Dado
, considere o conjunto
. Prove que
é limitado. Além disso, se
, prove que
e
. Se
, prove que
e
.
Passo 1
O enunciado dá que
é não-vazio e limitado. Foi definido, para um escalar
, o conjunto
. O que precisa ser provado são duas coisas:
- Mostrar que
é limitado (para qualquer ). - Relacionar supremo e ínfimo de
com os de , em dois casos: - Se
: provar e . - Se
: provar e .
- Se
Informações úteis que já temos (tiradas do enunciado):
-
é não-vazio, então existe pelo menos um . -
é limitado, portanto existe tal que para todo . - Vou chamar
e quando for útil.
Antes de começar a provar, lembro as definições que usarei:
- Um conjunto
é limitado se existe tal que para todo . -
é supremo de (ou ) se (i) é uma cota superior: para todo , e (ii) é a menor cota superior, formalmente: para todo existe tal que . -
é ínfimo de (ou ) se (i) é uma cota inferior: para todo , e (ii) é a maior cota inferior: para todo existe tal que .
Passo 2
Prova de que
é limitado (caso geral, qualquer
).
Como
é limitado, existe
tal que
para todo
. Tome um elemento qualquer de
; ele tem a forma
com
. Então
Portanto todos os elementos de
têm módulo menor ou igual a
. Logo
é limitado (com constante de limite
). Nota: se
o mesmo resultado aparece com
, que obviamente é limitado.
Passo 3
Vou tratar separadamente os casos
,
e
para as identidades envolvendo supremo e ínfimo, porque a multiplicação por um número negativo inverte desigualdades e o caso
precisa de atenção ao usar divisão.
Caso intermédio: anotações úteis que se usarão nos três casos:
- Denotar
e . - Propriedade de preservação de ordem: se
e então . Se e então (ordem invertida). - Usarei a caracterização
-definicional de supremo e ínfimo descrita no Passo 1.
Passo 4
Caso
.
Nesse caso
. Assim
e
. Como
, tem-se também
e
. Portanto as igualdades pedidas são verdadeiras para
:
Passo 5
Caso
.
Provar
.
-
Mostrar que
é cota superior de . Para todo vale . Como , multiplicando por obtemos . Como era um elemento arbitrário de , concluímos que é cota superior de . -
Mostrar que
é a menor cota superior (usar ). Seja . Como , existe tal que
Multiplicando por
obtemos
o que mostra que existem elementos de
arbitrariamente próximos de
pela esquerda. Logo não existe cota superior menor que
, isto é,
é o supremo de
. Assim
Provar
.
-
Mostrar que
é cota inferior de . Para todo vale . Como , multiplicando por obtemos . Logo é cota inferior de . -
Mostrar que
é a maior cota inferior (usar ). Seja . Como , existe tal que
Multiplicando por
obtemos
o que mostra que existem pontos de
arbitrariamente próximos de
por cima. Assim
é o ínfimo de
:
Passo 6
Caso
.
Agora a multiplicação por
inverte desigualdades, então os papéis de supremo e ínfimo trocam.
Provar
.
-
Mostrar que
é cota superior de . Para todo temos . Como , multiplicando por obtemos . Logo é cota superior de . -
Mostrar que
é a menor cota superior. Seja . Como , existe tal que
Observe que
porque
. Multiplicando a desigualdade por
(número negativo) invertemos o sinal e obtemos
Então existem elementos
arbitrariamente maiores que
, isto é, arbitrariamente próximos de
pela esquerda. Como
já é cota superior, ele é o supremo de
. Portanto
Provar
.
-
Mostrar que
é cota inferior de . Para todo vale . Como , multiplicando por obtemos . Logo é cota inferior de . -
Mostrar que
é a maior cota inferior. Seja . Como , existe tal que
Multiplicando por
invertemos a desigualdade e obtemos
Isso mostra que existem elementos de
arbitrariamente próximos de
por cima, portanto
é o ínfimo de
. Assim
Resposta
Se
:
e
Se
:
e