Seja A \subset \mathbb{R} não-vazio e limitado. Dado c \in \mathbb{R}, considere o conjunto c A=\{c x: x \in A\}. Prove que c A é limitado. Além disso, se c \geqslant 0, prove que \sup (c A)=c \sup A e \inf (c A)= c \inf A. Se c<0, prove que \sup (c A)=c \inf A e \inf (c A)=c \sup A.

Passo 1

O enunciado dá que A\subset\mathbb{R} é não-vazio e limitado. Foi definido, para um escalar c\in\mathbb{R}, o conjunto cA=\{c x: x\in A\}. O que precisa ser provado são duas coisas:
  • Mostrar que cA é limitado (para qualquer c\in\mathbb{R}).
  • Relacionar supremo e ínfimo de cA com os de A, em dois casos:
    • Se c\geqslant 0: provar \sup(cA)=c\sup A e \inf(cA)=c\inf A.
    • Se c<0: provar \sup(cA)=c\inf A e \inf(cA)=c\sup A.
Informações úteis que já temos (tiradas do enunciado):
  • A é não-vazio, então existe pelo menos um x\in A.
  • A é limitado, portanto existe M\geqslant 0 tal que |x|\leqslant M para todo x\in A.
  • Vou chamar s=\sup A e i=\inf A quando for útil.
Antes de começar a provar, lembro as definições que usarei:
  • Um conjunto B\subset\mathbb{R} é limitado se existe K\geq 0 tal que |y|\leq K para todo y\in B.
  • u é supremo de B (ou u=\sup B) se (i) u é uma cota superior: y\leq u para todo y\in B, e (ii) u é a menor cota superior, formalmente: para todo \varepsilon>0 existe y\in B tal que u-\varepsilon<y.
  • l é ínfimo de B (ou l=\inf B) se (i) l é uma cota inferior: y\geq l para todo y\in B, e (ii) l é a maior cota inferior: para todo \varepsilon>0 existe y\in B tal que y<l+\varepsilon.

Passo 2

Prova de que cA é limitado (caso geral, qualquer c\in\mathbb{R}).
Como A é limitado, existe M\geqslant 0 tal que |x|\leqslant M para todo x\in A. Tome um elemento qualquer de cA; ele tem a forma y=cx com x\in A. Então
|y|=|c x|=|c|\,|x|\leqslant |c|\,M.
Portanto todos os elementos de cA têm módulo menor ou igual a |c|M. Logo cA é limitado (com constante de limite |c|M). Nota: se c=0 o mesmo resultado aparece com cA=\{0\}, que obviamente é limitado.

Passo 3

Vou tratar separadamente os casos c=0, c>0 e c<0 para as identidades envolvendo supremo e ínfimo, porque a multiplicação por um número negativo inverte desigualdades e o caso c=0 precisa de atenção ao usar divisão.
Caso intermédio: anotações úteis que se usarão nos três casos:
  • Denotar s=\sup A e i=\inf A.
  • Propriedade de preservação de ordem: se c>0 e x\leq y então cx\leq cy. Se c<0 e x\leq y então cx\geq cy (ordem invertida).
  • Usarei a caracterização \varepsilon-definicional de supremo e ínfimo descrita no Passo 1.

Passo 4

Caso c=0.
Nesse caso cA=\{0\}. Assim \sup(cA)=0 e \inf(cA)=0. Como c=0, tem-se também c\sup A=0 e c\inf A=0. Portanto as igualdades pedidas são verdadeiras para c=0:
\sup(cA)=c\sup A,\qquad \inf(cA)=c\inf A.

Passo 5

Caso c>0.
Provar \sup(cA)=c\sup A.
  1. Mostrar que c s é cota superior de cA. Para todo x\in A vale x\leqslant s. Como c>0, multiplicando por c obtemos cx\leqslant c s. Como cx era um elemento arbitrário de cA, concluímos que c s é cota superior de cA.
  2. Mostrar que c s é a menor cota superior (usar \varepsilon). Seja \varepsilon>0. Como s=\sup A, existe x\in A tal que
s-\frac{\varepsilon}{c}<x\leqslant s.
Multiplicando por c>0 obtemos
c s-\varepsilon < c x \leqslant c s,
o que mostra que existem elementos de cA arbitrariamente próximos de c s pela esquerda. Logo não existe cota superior menor que c s, isto é, c s é o supremo de cA. Assim
\sup(cA)=c\sup A.
Provar \inf(cA)=c\inf A.
  1. Mostrar que c i é cota inferior de cA. Para todo x\in A vale x\geqslant i. Como c>0, multiplicando por c obtemos cx\geqslant c i. Logo c i é cota inferior de cA.
  2. Mostrar que c i é a maior cota inferior (usar \varepsilon). Seja \varepsilon>0. Como i=\inf A, existe x\in A tal que
i<x< i+\frac{\varepsilon}{c}.
Multiplicando por c>0 obtemos
c i < c x < c i + \varepsilon,
o que mostra que existem pontos de cA arbitrariamente próximos de c i por cima. Assim c i é o ínfimo de cA:
\inf(cA)=c\inf A.

Passo 6

Caso c<0.
Agora a multiplicação por c inverte desigualdades, então os papéis de supremo e ínfimo trocam.
Provar \sup(cA)=c\inf A.
  1. Mostrar que c i é cota superior de cA. Para todo x\in A temos x\geqslant i. Como c<0, multiplicando por c obtemos cx\leqslant c i. Logo c i é cota superior de cA.
  2. Mostrar que c i é a menor cota superior. Seja \varepsilon>0. Como i=\inf A, existe x\in A tal que
x<i+\frac{\varepsilon}{|c|}.
Observe que |c|=-c porque c<0. Multiplicando a desigualdade por c (número negativo) invertemos o sinal e obtemos
c x > c\bigl(i+\frac{\varepsilon}{|c|}\bigr)=c i + c\frac{\varepsilon}{|c|}=c i -\varepsilon.
Então existem elementos cx\in cA arbitrariamente maiores que c i -\varepsilon, isto é, arbitrariamente próximos de c i pela esquerda. Como c i já é cota superior, ele é o supremo de cA. Portanto
\sup(cA)=c\inf A.
Provar \inf(cA)=c\sup A.
  1. Mostrar que c s é cota inferior de cA. Para todo x\in A vale x\leqslant s. Como c<0, multiplicando por c obtemos cx\geqslant c s. Logo c s é cota inferior de cA.
  2. Mostrar que c s é a maior cota inferior. Seja \varepsilon>0. Como s=\sup A, existe x\in A tal que
s-\frac{\varepsilon}{|c|}<x\leqslant s.
Multiplicando por c<0 invertemos a desigualdade e obtemos
c s \leqslant c x < c\bigl(s-\frac{\varepsilon}{|c|}\bigr)=c s +\varepsilon.
Isso mostra que existem elementos de cA arbitrariamente próximos de c s por cima, portanto c s é o ínfimo de cA. Assim
\inf(cA)=c\sup A.

Resposta

\;cA\\ \text{é limitado.}é
Se c\geqslant 0: \displaystyle \sup(cA)=c\sup A e \displaystyle \inf(cA)=c\inf A.
Se c<0: \displaystyle \sup(cA)=c\inf A e \displaystyle \inf(cA)=c\sup A.

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