(UFCG - 2023) (a) Sejam A, B \subset \mathbb{R} conjuntos não-vazios e limitados. Defina, precisamente, \inf A e \sup B.
(b) Determine sup S e \inf S, onde S=\left\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m} ; m, n \in \mathbb{N}\right\}.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
O enunciado tem duas partes.
(a) Pede para definir, de forma precisa, \inf A e \sup B, onde A e B são conjuntos não-vazios e limitados em \mathbb{R}.
A e B são conjuntos não-vazios e limitados (isso garante existência de supremo e ínfimo no conjunto dos reais).
Em (b), m e n variam sobre \mathbb{N} (considera-se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}).
Passo 2
Definição precisa de [\sup B) (ideia e formulação formal).
Intuição rápida: \sup B é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de B — o menor majorante de B.
Definição formal (duas partes):
Primeiro, s\in\mathbb{R} é um majorante de B se
\forall x\in B,\\ x\le s.
Segundo, s é o menor majorante (o supremo) se além de ser majorante, qualquer outro majorante u satisfaz
s\le u.
Caracterização equivalente por aproximações (muito usada em provas):
s=\sup B se, e somente se,
\begin{cases} \forall x\in B,\\ x\le s,\\[4pt] \forall \varepsilon>0,\\ \exists x\in B\\ \text{tal que}\\ x> s-\varepsilon. \end{cases}Explicação: a primeira condição diz que s\] é um majorante; a segunda diz que não existe majorante estritamente menor que \(s, porque sempre se pode encontrar elementos de B arbitrariamente próximos de s por baixo.]
Passo 3
Definição precisa de [\inf A) (ideia e formulação formal).
Intuição rápida: \inf A é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de A — o maior minorante de A.
Definição formal (duas partes):
Primeiro, \ell\in\mathbb{R} é um minorante de A se
\forall x\in A,\\ \ell\le x.
Segundo, \ell é o maior minorante (o ínfimo) se, além de ser minorante, qualquer outro minorante v satisfaz
v\le \ell.
Caracterização equivalente por aproximações:
\ell=\inf A se, e somente se,
\begin{cases} \forall x\in A,\\ \ell\le x,\\[4pt] \forall \varepsilon>0,\\ \exists x\in A\\ \text{tal que}\\ x< \ell+\varepsilon. \end{cases}Explicação: a primeira condição diz que \ell\] é um minorante; a segunda diz que não existe minorante estritamente maior que \(\ell, porque existem elementos de A arbitrariamente próximos de \ell por cima.]
Passo 4
Exemplo rápido para fixar as ideias (apenas para prática).
Tomando B=(0,1) (intervalo aberto), tem-se \sup B=1 porque 1 é majorante e há pontos em B arbitrariamente próximos de 1 pela esquerda (por exemplo 0,9, 0,99, …). Note que 1\notin B mas ainda assim é supremo.
Tomando A=(0,1), tem-se \inf A=0 pela mesma razão espelhada.
Passo 5
Agora resolvo a parte (b): descrição inicial e observações sobre sinais.
Observação: para todo n\in\mathbb{N} temos \dfrac{1}{n}>0; para todo m\in\mathbb{N} temos \dfrac{1}{m}>0. Assim cada elemento de S é a diferença entre dois números positivos.
Passo 6
Mostro que 1 é um majorante de S (passo para provar \sup S=1).
Tome um elemento arbitrário s\in S. Então existem m,n\in\mathbb{N} tais ques=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}.
Como \dfrac{1}{n}\le 1 para todo n\ge1 e -\dfrac{1}{m}\le 0, segue ques=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le 1-0 = 1.Portanto 1 é um majorante de S.
Passo 7
Mostro que 1 é o menor majorante (ou seja, \sup S=1) usando a caracterização por aproximação.
Queremos provar: para todo \varepsilon>0 existe s\in S tal que s>1-\varepsilon.
Escolha n=1. Então para qualquer m\in\mathbb{N} temoss_m=\frac{1}{1}-\frac{1}{m}=1-\frac{1}{m}\in S.
Dado \varepsilon>0, escolha m\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{m}<\varepsilon. Isso é sempre possível porque \dfrac{1}{m}\to 0 quando m\to\infty.
Para esse m obtemoss_m=1-\frac{1}{m}>1-\varepsilon.
Assim, existem elementos de S arbitrariamente próximos de 1 por baixo. Pela caracterização do supremo, não existe majorante estritamente menor que 1. Portanto\sup S = 1.
Passo 8
Mostro que -1 é um minorante de S (passo para provar \inf S=-1).
Tome um elemento arbitrário s\in S escrito como antes s=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}.
Como \dfrac{1}{n}\ge 0 e \dfrac{1}{m}\le 1 (pois m\ge1), segue ques=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\ge 0 - 1 = -1.Portanto -1 é um minorante de S.
Passo 9
Mostro que -1 é o maior minorante (ou seja, \inf S=-1) usando a caracterização por aproximação.
Queremos provar: para todo \varepsilon>0 existe s\in S tal que s< -1 + \varepsilon.
Escolha m=1. Então para qualquer n\in\mathbb{N} temost_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{1}=\frac{1}{n}-1\in S.
Dado \varepsilon>0, escolha n\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Isso é sempre possível porque \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.
Para esse n obtemost_n=-1+\frac{1}{n} < -1 + \varepsilon.
Assim, existem elementos de S arbitrariamente próximos de -1 por cima. Pela caracterização do ínfimo, não existe minorante estritamente maior que -1. Portanto\inf S = -1.
Passo 10
Resumo e observações finais (breve):
Ficou provado que todo elemento de S satisfaz -1\le s\le 1, que 1 é menor majorante possível (supremo) e que -1 é maior minorante possível (ínfimo).
Note que nem 1 nem -1 pertencem a S: para ter 1 seria necessário \dfrac{1}{m}=0 (impossível); para ter -1 seria necessário \dfrac{1}{n}=0 (impossível). Logo \sup S e \inf S não são máximos/minimos do conjunto, apenas supremo e ínfimo.
Resposta
(a) \inf A é o maior número \ell\in\mathbb{R} tal que \forall x\in A,\\ \ell\le x; equivalentemente, \ell=\inf A se e somente se \forall \varepsilon>0,\\ \exists x\in A com x<\ell+\varepsilon.\newline\sup B é o menor número s\in\mathbb{R} tal que \forall x\in B,\\ x\le s; equivalentemente, s=\sup B se e somente se \forall \varepsilon>0,\\ \exists x\in B com x> s-\varepsilon.\newline
(b) \sup S=1\newline \inf S=-1