Seja
não vazio limitado. Dado
, seja
. Prove que
a)
é limitado,
b)
,
c)
,
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado diz que
é não vazio e limitado e que
. Definimos
Vamos usar a propriedade de que, se
, então ao multiplicar uma desigualdade por
a direção dela se inverte, e também as definições de conjunto limitado, supremo e ínfimo.
Passo 2
Como
é limitado existe
tais que para todo
temos
Multiplicando essa cadeia por
inverte-se as desigualdades:
Isso mostra que todo elemento de
está entre
e
, logo
é limitado.
Passo 3
Provar
.
-
Primeiro, como
é o maior limite inferior de , para todo vale . Multiplicando por obtém-se . Assim é um limite superior de . -
Seja
. Como é ínfimo, existe com
onde escolhemos
. Então
Logo para todo
temos um
dentro de
de
, o que prova que
é o menor limite superior, ou seja
Passo 4
Provar
.
-
Como
é o menor limite superior de , para todo vale . Multiplicando por segue . Assim é um limite inferior de . -
Seja
. Pela definição de supremo, existe com
onde
. Então
Assim encontramos em
valores arbitrariamente próximos por cima de
, o que mostra que
é o maior limite inferior, ou seja
Resposta
a)
é limitado.
b) .
c) .
b)
c)