Seja A \subset \mathbb{R} não vazio limitado. Dado c<0, seja c \cdot A=\{c \cdot x ; x \in A\}. Prove que
a) c \cdot A é limitado,
b) \sup (c \cdot A)=c \cdot \inf A,
c) \inf c \cdot A=c \cdot \sup A,

Passo 1

O enunciado diz que A\subset\mathbb{R} é não vazio e limitado e que c<0. Definimos
c\cdot A=\{\,c\,x : x\in A\}.
Vamos usar a propriedade de que, se c<0, então ao multiplicar uma desigualdade por c a direção dela se inverte, e também as definições de conjunto limitado, supremo e ínfimo.

Passo 2

Como A é limitado existe m,M\in\mathbb{R} tais que para todo x\in A temos
m\le x\le M.
Multiplicando essa cadeia por c<0 inverte-se as desigualdades:
c\,M\le c\,x\le c\,m.
Isso mostra que todo elemento de c\cdot A está entre c\,M e c\,m, logo c\cdot A é limitado.

Passo 3

Provar \sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A.
  1. Primeiro, como \inf A é o maior limite inferior de A, para todo x\in A vale x\ge\inf A. Multiplicando por c<0 obtém-se c\,x\le c\cdot\inf A. Assim c\cdot\inf A é um limite superior de c\cdot A.
  2. Seja \varepsilon>0. Como \inf A é ínfimo, existe x_0\in A com
x_0<\inf A+\delta,
onde escolhemos \delta=\frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert}. Então
c\,x_0>c\bigl(\inf A+\delta\bigr) =c\cdot\inf A+c\,\delta =c\cdot\inf A-\lvert c\rvert\frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert} =c\cdot\inf A-\varepsilon.
Logo para todo \varepsilon>0 temos um c\,x_0\in c\cdot A dentro de \varepsilon de c\cdot\inf A, o que prova que c\cdot\inf A é o menor limite superior, ou seja
\sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A.

Passo 4

Provar \inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A.
  1. Como \sup A é o menor limite superior de A, para todo x\in A vale x\le\sup A. Multiplicando por c<0 segue c\,x\ge c\cdot\sup A. Assim c\cdot\sup A é um limite inferior de c\cdot A.
  2. Seja \varepsilon>0. Pela definição de supremo, existe x_1\in A com
x_1>\sup A-\delta,
onde \delta=\frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert}. Então
c\,x_1<c\bigl(\sup A-\delta\bigr) =c\cdot\sup A+c\,(-\delta) =c\cdot\sup A-\lvert c\rvert\frac{\varepsilon}{\lvert c\rvert} =c\cdot\sup A+\varepsilon.
Assim encontramos em c\cdot A valores arbitrariamente próximos por cima de c\cdot\sup A, o que mostra que c\cdot\sup A é o maior limite inferior, ou seja
\inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A.

Resposta

a) c\cdot A é limitado.
b) \sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A.
c) \inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A.

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