Prove os itens abaixo.
Sejam X_{1}, X_{2},{ }^{\prime}, X_{k} conjuntos finitos. Mostre que X_{1} \times X_{2} \times \cdots \times X_{k} é finito e
\operatorname{card}\left(X_{1} \times X_{2} \times \cdots \times X_{k}\right)=\operatorname{card} X_{1} \cdot \operatorname{card} X_{2} \cdot \ldots \cdot \operatorname{card} X_{k}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados conjuntos finitos X_{1},X_{2},\dots,X_{k}, o produto cartesiano
X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{k}
é também finito e que
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times\cdots\times X_{k}\bigr) =\operatorname{card}X_{1}\,\cdot\operatorname{card}X_{2}\,\cdots\,\operatorname{card}X_{k}.
O plano é usar indução em k e, no passo de indução, reduzir ao caso de dois fatores, usando que a união disjunta de conjuntos finitos tem cardinal igual à soma dos cardinais.

Passo 2

Caso k=1.
Aqui X_{1}\times\cdots\times X_{k}=X_{1}, que é finito por hipótese, e
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\bigr) =\operatorname{card}X_{1},
o que coincide com a fórmula \prod_{i=1}^{1}\operatorname{card}X_{i}. Logo o enunciado vale para k=1.

Passo 3

Caso k=2.
Seja X com \operatorname{card}X=m e Y com \operatorname{card}Y=n. Considere
X\times Y =\bigcup_{x\in X}\bigl(\{x\}\times Y\bigr).
Cada conjunto \{x\}\times Y tem exatamente n elementos e, para x\neq x', \{x\}\times Y e \{x'\}\times Y são disjuntos. Logo é uma união disjunta de m conjuntos de tamanho n. Pelo fato de que a união disjunta de conjuntos finitos tem cardinal igual à soma dos cardinais, segue
\operatorname{card}(X\times Y) =\sum_{x\in X}\operatorname{card}\bigl(\{x\}\times Y\bigr) =\sum_{x\in X}n =m\,n =\operatorname{card}X\;\cdot\;\operatorname{card}Y.
Isso prova o caso k=2.

Passo 4

Indução de k-1 para k.
Suponha que, para algum k\ge2, valha
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times\cdots\times X_{k-1}\bigr) =\prod_{i=1}^{k-1}\operatorname{card}X_{i}.
Defina
P=X_{1}\times\cdots\times X_{k-1} \quad\text{e}\quad Q=X_{k}.
Pelo passo de indução P é finito e \operatorname{card}P=\prod_{i=1}^{k-1}\operatorname{card}X_{i}. Aplicando o caso k=2 a P e Q, obtemos
\operatorname{card}\bigl(P\times Q\bigr) =\operatorname{card}P\;\cdot\;\operatorname{card}Q =\Bigl(\prod_{i=1}^{k-1}\operatorname{card}X_{i}\Bigr)\;\cdot\;\operatorname{card}X_{k} =\prod_{i=1}^{k}\operatorname{card}X_{i}.
Como P\times Q=X_{1}\times\cdots\times X_{k}, conclui-se que o enunciado vale para k.

Resposta

Pelo princípio da indução, para todo k\ge1 o produto cartesiano de k conjuntos finitos continua finito e
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{k}\bigr) =\prod_{i=1}^{k}\operatorname{card}X_{i}.

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