Questão 01)
Passo 1
O enunciado define um controlador PI
G_{c}(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}
\operatorname{com} K_{p}=21.5, K_{i}=2.386, e pede a função de transferência em malha fechada G_{m f}(s)=\frac{\Theta(s)}{R(s)} do
sistema da Fig. 1. Vamos precisar da dinâmica do motor, que é composta por
  • o laço de corrente G(s)=\frac{30}{5 \times 10^{-3} s+1},
  • a constante de torque K_{t}=0.09794,
  • a inércia J=0.01 e o atrito viscoso B=0.001,
    e da fórmula padrão de realimentação unitária.
Passo 2
Sem o controlador, a planta do motor relaciona o erro E(s) à posição \Theta(s). O torque gerado é
\tau(s)=K_{t} G(s) E(s),
o torque líquido age num sistema de segunda ordem \frac{1}{J s+B} para gerar velocidade e depois integramos para obter posição. Portanto
P(s)=\frac{\Theta(s)}{E(s)}=\frac{K_{t} G(s)}{s(J s+B)}=\frac{0.09794\left(30 /\left(5 \times 10^{-3} s+1\right)\right)}{s(0.01 s+0.001)}.
Fatorando e simplificando obtemos
P(s)=\frac{2938.2}{s(10 s+1)(0.005 s+1)}.
Passo 3
O controlador Pl é
G_{c}(s)=\frac{K_{p} s+K_{i}}{s}=\frac{21.5 s+2.386}{s} .
O laço aberto fica
L(s)=G_{c}(s) P(s)=\frac{2938.2(21.5 s+2.386)}{s^{2}(10 s+1)(0.005 s+1)}
Passo 4
Com realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
G_{m f}(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{2938.2(21.5 s+2.386)}{s^{2}(10 s+1)(0.005 s+1)+2938.2(21.5 s+2.386)}
Expandindo numerador e denominador resulta
G_{m f}(s)=\frac{6.31713 \times 10^{4} s+7.01120 \times 10^{3}}{0.05 s^{4}+10.005 s^{3}+1 s^{2}+6.31713 \times 10^{4} s+7.01120 \times 10^{3}}
Em matLAB, uma possível forma direta é:
s=t f\left(' s^{\prime}\right) ; G c=21.5+2.386 / s ; P=0.09794 * 30 /((5 e-3 * s+1) * s *(0.01 * s+0.001)) ; \text { Gmf }=\text { feedback }(G c * P, 1) ;
RESPOSTA FINAL)
G_{m f}(s)=\frac{6.31713 \times 10^{4} s+7.01120 \times 10^{3}}{0.05 s^{4}+10.005 s^{3}+1 s^{2}+6.31713 \times 10^{4} s+7.01120 \times 10^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a função de transferência em malha fechada \Theta(s)/R(s) de um sistema com controlador PI
G_{c}(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}
onde K_{p}=21,5 e K_{i}=2,386, acionando um motor CC com realimentação unitária.
Para isso precisamos da dinâmica do motor:
– laço de corrente \displaystyle G(s)=\frac{30}{0,005\,s+1}
– constante de torque \displaystyle K_{t}=0,09794
– inércia \displaystyle J=0,01
– atrito viscoso \displaystyle B=0,001

Passo 2

Vamos obter a planta “posição versus erro” P(s)=\Theta(s)/E(s).
O torque gerado é \tau(s)=K_{t}\,G(s)\,E(s) e o torque líquido atua em \displaystyle\frac{1}{J\,s+B} para produzir velocidade, que em seguida é integrado em posição.
Logo
P(s)=\frac{\Theta(s)}{E(s)} =\frac{K_{t}\,G(s)}{s\,(J\,s+B)} =\frac{0,09794\;\bigl(30/(0,005\,s+1)\bigr)}{s\,(0,01\,s+0,001)}.
Fatorando 0,01\,s+0,001=0,001(10\,s+1) e simplificando resulta
P(s)=\frac{2938,2}{s\,(10\,s+1)\,(0,005\,s+1)}.

Passo 3

O controlador PI em forma única é
G_{c}(s)=\frac{K_{p}\,s+K_{i}}{s} =\frac{21,5\,s+2,386}{s}.
O laço aberto L(s)=G_{c}(s)\,P(s) fica
L(s) =\frac{2938,2\,(21,5\,s+2,386)}{s^{2}\,(10\,s+1)\,(0,005\,s+1)}.

Passo 4

Com realimentação unitária,
G_{mf}(s) =\frac{L(s)}{1+L(s)} =\frac{2938,2\,(21,5\,s+2,386)} {s^{2}\,(10\,s+1)\,(0,005\,s+1)+2938,2\,(21,5\,s+2,386)}.
Expandindo numerador e denominador em potências de s, obtemos
G_{mf}(s) =\frac{6,31713\times10^{4}\,s+7,01120\times10^{3}} {0,05\,s^{4}+10,005\,s^{3}+1\,s^{2} +6,31713\times10^{4}\,s+7,01120\times10^{3}}.

Resposta

G_{mf}(s) =\frac{6,31713\times10^{4}\,s+7,01120\times10^{3}} {0,05\,s^{4}+10,005\,s^{3}+1\,s^{2} +6,31713\times10^{4}\,s+7,01120\times10^{3}}.

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