(a) Seja f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R} uma função que admite função inversa. Então f^{-1} é igual a \frac{1}{f} ? Justifique sua resposta.
(b) Quais funções do Exercício 23 admitem função inversa? Quando admitir, encontrar a lei de associação da função inversa.

Passo 1

O enunciado pergunta em (a) se, para uma função f que admite inversa, vale sempre
f^{-1}=\frac1{f}
ou seja, se a “função inversa” é a mesma coisa que a “inversa multiplicativa” de f. Em (b) pede-se analisar um conjunto de funções do Exercício 23, identificar quais são bijetoras e, quando forem, determinar explicitamente suas inversas.

Passo 2

Para responder (a) precisamos distinguir dois conceitos distintos:
  1. A função inversa f^{-1} é aquela que “desfaz” f. Se y=f(x), então f^{-1}(y)=x.
  2. A inversa multiplicativa \tfrac1{f} é a função que a cada x associa \tfrac1{f(x)}.
Mostramos que, em geral, elas não coincidam. Suponha por exemplo
f\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad f(x)=2x.
Então:
  • A inversa multiplicativa é \tfrac1{f}(x)=\tfrac1{2x}.
  • A função inversa é aquela que satisfaz f^{-1}(2x)=x, logo f^{-1}(y)=\tfrac y2.
Claramente
f^{-1}(x)=\frac x2\quad\neq\quad\frac1{f(x)}=\frac1{2x}.
Portanto, em geral
f^{-1}\neq \frac1{f}.

Passo 3

Para responder (b) precisaríamos do enunciado completo do Exercício 23 (as funções propostas). Como esse enunciado não foi fornecido, não há como verificar quais delas são bijetoras nem determinar suas inversas.

Resposta

(a) Não. A função inversa f^{-1} é a que desfaz f em termos de composição, enquanto \tfrac1{f} é a inversa multiplicativa ponto a ponto. Em geral são funções diferentes.
(b) Impossível de responder sem o enunciado do Exercício 23.

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