(a) Seja
uma função que admite função inversa. Então
é igual a
? Justifique sua resposta.
(b) Quais funções do Exercício 23 admitem função inversa? Quando admitir, encontrar a lei de associação da função inversa.
(b) Quais funções do Exercício 23 admitem função inversa? Quando admitir, encontrar a lei de associação da função inversa.
Passo 1
O enunciado pergunta em (a) se, para uma função
que admite inversa, vale sempre
ou seja, se a “função inversa” é a mesma coisa que a “inversa multiplicativa” de
. Em (b) pede-se analisar um conjunto de funções do Exercício 23, identificar quais são bijetoras e, quando forem, determinar explicitamente suas inversas.
Passo 2
Para responder (a) precisamos distinguir dois conceitos distintos:
- A função inversa
é aquela que “desfaz” . Se , então . - A inversa multiplicativa
é a função que a cada associa .
Mostramos que, em geral, elas não coincidam. Suponha por exemplo
Então:
- A inversa multiplicativa é
- A função inversa é aquela que satisfaz
, logo
Claramente
Portanto, em geral
Passo 3
Para responder (b) precisaríamos do enunciado completo do Exercício 23 (as funções propostas). Como esse enunciado não foi fornecido, não há como verificar quais delas são bijetoras nem determinar suas inversas.
Resposta
(a) Não. A função inversa
é a que desfaz
em termos de composição, enquanto
é a inversa multiplicativa ponto a ponto. Em geral são funções diferentes.
(b) Impossível de responder sem o enunciado do Exercício 23.
(b) Impossível de responder sem o enunciado do Exercício 23.