As afirmações a seguir são verdadeiras ou falasas? Justifique sua resposta.
(a) Se \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} converge em x=1, então converge em x=-1.
(b) Se \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} converge em x=2, então converge em x=-1.
(c) Se o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é R, então o raio de convergência de \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{2 n} é \sqrt{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
e faz três afirmações sobre convergência em pontos e sobre raio de convergência. O conteúdo necessário envolve noções de convergência absoluta versus condicional, contraprovas por exemplos e a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência.

Passo 2

(a) Queremos ver se a convergência em x=1 implica convergência em x=-1. Note que convergence em x=1 significa
\sum_{n=0}^\infty a_n
converge (talvez de forma condicional). Mas em x=-1 temos
\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)^n.
Podemos escolher um contraexemplo: seja
a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
Então em x=1 a série fica
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}},
que converge pelo critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero). Mas em x=-1 a série é
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1}},
que diverge (é comparável à série harmônica de potência 1/2). Logo (a) é falsa.

Passo 3

(b) Agora, se a série converge em x=2, então o raio de convergência R satisfaz R\ge2. Dentro do disco \lvert x\rvert< R a convergência é absoluta, em particular para x=-1 temos \lvert -1\rvert=1<2\le R. Logo
\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)^n
converge absolutamente. Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Seja R o raio de convergência de \sum_{n=0}^\infty a_n x^n. A série
\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}
é uma série de potências em y=x^2:
\sum_{n=0}^\infty a_n y^n,
cujo raio é R em termos de \lvert y\rvert. Assim converge se \lvert y\rvert< R, i.e.\ \lvert x^2\rvert< R, ou seja \lvert x\rvert<\sqrt{R}. Logo o novo raio de convergência é \sqrt{R}, e (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.

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