As afirmações a seguir são verdadeiras ou falasas? Justifique sua resposta.
(a) Se
converge em
, então converge em
.
(b) Se
converge em
, então converge em
.
(c) Se o raio de convergência da série
é
, então o raio de convergência de
é
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se o raio de convergência da série
Passo 1
O enunciado nos dá uma série de potências
e faz três afirmações sobre convergência em pontos e sobre raio de convergência. O conteúdo necessário envolve noções de convergência absoluta versus condicional, contraprovas por exemplos e a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência.
Passo 2
(a) Queremos ver se a convergência em
implica convergência em
. Note que convergence em
significa
converge (talvez de forma condicional). Mas em
temos
Podemos escolher um contraexemplo: seja
Então em
a série fica
que converge pelo critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero). Mas em
a série é
que diverge (é comparável à série harmônica de potência
). Logo (a) é falsa.
Passo 3
(b) Agora, se a série converge em
, então o raio de convergência
satisfaz
. Dentro do disco
a convergência é absoluta, em particular para
temos
. Logo
converge absolutamente. Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Seja
o raio de convergência de
. A série
é uma série de potências em
:
cujo raio é
em termos de
. Assim converge se
, i.e.\
, ou seja
. Logo o novo raio de convergência é
, e (c) é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.