Seja 
  uma série convergente e 
  uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos 
  ?
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre séries infinitas e sequências. Temos uma série 
  que é convergente, ou seja, ela soma a um valor finito. Também temos uma sequência 
  que é limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limites, eles ficam dentro de certos valores. O que precisamos descobrir aqui é se a afirmação que envolve essas duas coisas ainda é verdadeira se tirarmos a condição sobre os termos 
 , ou seja, se não assumirmos que 
  é convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente. Uma série 
  converge se a soma de seus termos tende a um número específico quando somamos infinitamente muitos termos. Por exemplo, a série 
  converge para 1.
Agora, uma sequência 
  ser limitada significa que existe um número 
  tal que para todo 
 , 
 . Ou seja, os termos da sequência não ficam muito grandes.
No contexto do problema, geralmente consideramos que se 
  converge e 
  é limitada, então a série 
  também converge. Isso é conhecido como o teste da série comparada com uma sequência limitada.
Passo 3
A pergunta aqui é: será que essa conclusão ainda é válida se não assumirmos que 
  é uma série convergente? Ou seja, se simplesmente tivermos uma sequência 
  qualquer (não necessariamente que a série 
  converge) e uma sequência 
  limitada, ainda podemos afirmar que 
  converge?
Para responder isso, precisamos considerar um caso em que 
  não converge, mas 
  é limitado. Se encontrarmos um exemplo onde 
  não converge, então a afirmação original não será verdadeira sem a condição de convergência de 
 .
Passo 4
Vamos construir um exemplo. Suponha que 
  para todo 
 . Nesse caso, a série 
  é a série harmônica, que sabemos que diverge, ou seja, não converge para um número finito.
Agora, escolha 
 . Essa sequência é limitada porque seus termos são apenas 1 e -1, então 
 .
Vamos ver a série 
 . Essa série oscila entre 1 e -1 e não se aproxima de nenhum valor específico. Portanto, ela também não converge.
Passo 5
Esse exemplo mostra que se não garantirmos que 
  é convergente, mesmo com 
  sendo uma sequência limitada, a série 
  pode não convergir. Portanto, a condição de que 
  é uma série convergente é essencial para assegurar a convergência de 
  quando 
  é limitado.
Resposta
Não, removendo a condição de que 
  é convergente, a afirmação não permanece verdadeira.