Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nso planos horizontais
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado define a superfície
por
Para entender sua geometria, vamos em (a) encontrar as interseções com os eixos, em (b) os traços nos planos coordenados
,
e
, em (c) os traços nos planos horizontais
e em (d) usar tudo isso para esboçar
.
Passo 2
(a) Interseções com os eixos coordenados
- Eixo
: e levam a , logo . - Eixo
: e levam a , logo . - Eixo
: e levam a , logo .
Assim, a única interseção é a origem.
Passo 3
(b) Traços nos planos coordenados
- Plano
:
impede qualquer ponto distinto de
, pois soma de quadrados só é zero em
.
- Plano
:
que são duas retas que passam pela origem no plano
.
- Plano
:
duas retas no plano
com inclinação
.
Passo 4
(c) Traços em
com
Substituindo em
dá
Substituindo
- Se
, volta ao ponto . - Se
, é uma elipse de eixos em e em .
Passo 5
(d) Esboço de
Juntando (b) e (c), vemos que para cada não nulo a curva é elíptica e à medida que
cresce as elipses se alargam; para
só há o vértice. Em direção positiva e negativa de
, o contorno se abre linearmente segundo
. Isso caracteriza um cone duplo de vértice na origem e eixo coincidente com o eixo
.
Juntando (b) e (c), vemos que para cada
Resposta
(a) Apenas
em todos os eixos.
(b) Plano : só
; plano
: retas
; plano
: retas
.
(c) Para , elipses
; para
, ponto
.
(d) é um cone duplo de vértice na origem e eixo ao longo de
.
(b) Plano
(c) Para
(d)