Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
x^{2}+4 y^{2}-z^{2}=0
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nso planos horizontais z=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado define a superfície S\subset\mathbb{R}^3 por
x^2 + 4y^2 - z^2 = 0.
Para entender sua geometria, vamos em (a) encontrar as interseções com os eixos, em (b) os traços nos planos coordenados xy, xz e yz, em (c) os traços nos planos horizontais z=k e em (d) usar tudo isso para esboçar S.

Passo 2

(a) Interseções com os eixos coordenados
  • Eixo x: y=0 e z=0 levam a x^2=0, logo x=0.
  • Eixo y: x=0 e z=0 levam a 4y^2=0, logo y=0.
  • Eixo z: x=0 e y=0 levam a -z^2=0, logo z=0.
    Assim, a única interseção é a origem (0,0,0).

Passo 3

(b) Traços nos planos coordenados
  • Plano xy z=0:
x^2 + 4y^2 = 0
impe­de qualquer ponto distinto de (0,0,0), pois soma de quadrados só é zero em x=y=0.
  • Plano xz y=0:
x^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm x,
que são duas retas que passam pela origem no plano y=0.
  • Plano yz x=0:
4y^2 - z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm 2y,
duas retas no plano x=0 com inclinação \pm2.

Passo 4

(c) Traços em z=k com k\in\mathbb{R}
Substituindo z=k em x^2+4y^2-z^2=0
x^2 + 4y^2 = k^2.
  • Se k=0, volta ao ponto (0,0,0).
  • Se k\neq0, é uma elipse de eixos \pm|k| em x e \pm|k|/2 em y.

Passo 5

(d) Esboço de S
Juntando (b) e (c), vemos que para cada z=k não nulo a curva é elíptica e à medida que |k| cresce as elipses se alargam; para z=0 só há o vértice. Em direção positiva e negativa de z, o contorno se abre linearmente segundo x^2+4y^2=z^2. Isso caracteriza um cone duplo de vértice na origem e eixo coincidente com o eixo z.

Resposta

(a) Apenas (0,0,0) em todos os eixos.
(b) Plano xy: só (0,0,0); plano xz: retas z=\pm x; plano yz: retas z=\pm2y.
(c) Para z=k\neq0, elipses x^2+4y^2=k^2; para k=0, ponto (0,0,0).
(d) S é um cone duplo de vértice na origem e eixo ao longo de z.

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