Seja a superfície S parte do cone z^2=x^2+y^2 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2 <= 2 y, fora do cilindro x^2+y^2 <= 1 e acima do plano x y.
Parametrize S usando coordenadas cartesianas.

Passo 1

A questão pede a parametrização da parte do cone z^2 = x^2 + y^2 que fica dentro do cilindro x^2 + y^2 <= 2y, fora de x^2 + y^2 <= 1 e acima do plano xy. O conteúdo aqui é parametrização de superfície do tipo z = f(x,y), assim vamos escrever a superfície como r(x,y) = (x,y,f(x,y)).

Passo 2

Como a superfície é a porção do cone acima do plano xy, temos z >= 0, logo z = raizx^2 + y^2. Portanto qualquer ponto de S pode ser escrito como $ (x,y,\sqrt{x2+y2}) $.

Passo 3

Precisamos ainda descrever o domínio D de (x,y) no plano: é a região entre o círculo de raio 1 centrado na origem e o círculo de raio 1 centrado em (0,1). Em notação de conjunto:
[D = {(x,y)\in\mathbb R^2 \mid 1 \le x2+y2 \le 2y}.]

Passo 4

Logo, a parametrização desejada é
r(x,y) =l(x,,y,,raizx^2+y^2r), (x,y)in D

Resposta

A parametrização de S é
r(x,y) = (x, y, raizx^2 + y^2),
com domínio
D = (x,y)in R^2 mid 1 <= x^2 + y^2 <= 2y

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