Seja a superfície S parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 y, fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície S que é a parte do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
sujeita às restrições:
está dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=2y\; (ou seja, no conjunto onde x^{2}+y^{2}\le 2y);
está fora do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; (ou seja, onde x^{2}+y^{2}\ge 1);
e está acima do plano xy (ou seja, z\ge 0).
O que o exercício pede:
(a) uma parametrização de S usando coordenadas cartesianas;
(b) uma parametrização de S usando coordenadas polares;
(c) calcular a área de S.
Informações úteis que extraio do enunciado (sem ainda resolver):
A equação do cone sugere que a porção acima do plano xy é dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A condição x^{2}+y^{2}\le 2y pode ser reescrita (em cartesianas) como x^{2}+(y-1)^{2}\le 1: é um disco de centro (0,1) e raio 1.
A condição x^{2}+y^{2}\ge 1 é o exterior (a partir) do círculo de raio 1 centrado na origem.
Em coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta, de forma que r^{2}=2y vira r=2\sin\theta (para r\ge0).
Passo 2
Parametrização em coordenadas cartesianas (passo a passo didático).
Ideia: como S é parte do cone e está acima do plano xy, podemos usar as coordenadas x e y como parâmetros e escrever z em função deles. A superfície é o gráfico da função
\Phi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr),\qquad (x,y)\in D.
Explicação intuitiva: estamos pegando o pedaço do gráfico z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre a região plana D que fica entre o círculo unitário centrado na origem e o disco de centro (0,1) raio 1.
Passo 3
Parametrização em coordenadas polares (passo a passo didático).
Passo 3.1 — trocar para polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; r\ge0. No cone, z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (como estamos com z\ge0, tomamos z=r).
Passo 3.2 — encontrar os limites de r e \theta a partir das desigualdades:
x^{2}+y^{2}\ge 1 vira r^{2}\ge 1, ou seja r\ge 1.
x^{2}+y^{2}\le 2y vira r^{2}\le 2r\sin\theta. Para r>0 isso é r\le 2\sin\theta.
Portanto devemos ter 1 \le r \le 2\sin\theta. Para que exista intervalo não vazio em r é preciso 2\sin\theta\ge 1, ou seja \sin\theta\ge\tfrac12. Isso ocorre quando
Comentário: esta é uma parametrização muito prática porque transforma a região de integração num retângulo no espaço dos parâmetros (r,\theta) (intervalos explícitos para r e \theta).
Passo 4
Preparar a fórmula para calcular a área de S (aula curta e aplicada).
Quando uma superfície é dada como gráfico z=g(x,y) sobre um domínio D no plano xy, a área da superfície é
Note que \sin(2\cdot\tfrac{5\pi}{6})=\sin(\tfrac{5\pi}{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(2\cdot\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo: