Seja a superfície S parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 y, fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície S que é a parte do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
sujeita às restrições:
  • está dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=2y\; (ou seja, no conjunto onde x^{2}+y^{2}\le 2y);
  • está fora do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; (ou seja, onde x^{2}+y^{2}\ge 1);
  • e está acima do plano xy (ou seja, z\ge 0).
O que o exercício pede:
(a) uma parametrização de S usando coordenadas cartesianas;
(b) uma parametrização de S usando coordenadas polares;
(c) calcular a área de S.
Informações úteis que extraio do enunciado (sem ainda resolver):
  • A equação do cone sugere que a porção acima do plano xy é dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 2y pode ser reescrita (em cartesianas) como x^{2}+(y-1)^{2}\le 1: é um disco de centro (0,1) e raio 1.
  • A condição x^{2}+y^{2}\ge 1 é o exterior (a partir) do círculo de raio 1 centrado na origem.
  • Em coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta, de forma que r^{2}=2y vira r=2\sin\theta (para r\ge0).

Passo 2

Parametrização em coordenadas cartesianas (passo a passo didático).
Ideia: como S é parte do cone e está acima do plano xy, podemos usar as coordenadas x e y como parâmetros e escrever z em função deles. A superfície é o gráfico da função
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo uma parametrização natural é
\Phi(x,y) = \bigl(x,\;y,\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).
Agora o domínio dos parâmetros (x,y) deve refletir as restrições do enunciado. Em cartesianas:
  • fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 significa x^{2}+y^{2}\ge 1;
  • dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2y significa x^{2}+y^{2}\le 2y, que é equivalente a x^{2}+(y-1)^{2}\le 1.
Portanto o domínio D em (x,y) é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;\bigm|\; x^{2}+y^{2}\ge 1,\; x^{2}+(y-1)^{2}\le 1 \bigr\},
e a parametrização cartesiana pedida é
\Phi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr),\qquad (x,y)\in D.
Explicação intuitiva: estamos pegando o pedaço do gráfico z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre a região plana D que fica entre o círculo unitário centrado na origem e o disco de centro (0,1) raio 1.

Passo 3

Parametrização em coordenadas polares (passo a passo didático).
Passo 3.1 — trocar para polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; r\ge0. No cone, z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (como estamos com z\ge0, tomamos z=r).
Passo 3.2 — encontrar os limites de r e \theta a partir das desigualdades:
  • x^{2}+y^{2}\ge 1 vira r^{2}\ge 1, ou seja r\ge 1.
  • x^{2}+y^{2}\le 2y vira r^{2}\le 2r\sin\theta. Para r>0 isso é r\le 2\sin\theta.
Portanto devemos ter 1 \le r \le 2\sin\theta. Para que exista intervalo não vazio em r é preciso 2\sin\theta\ge 1, ou seja \sin\theta\ge\tfrac12. Isso ocorre quando
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{5\pi}{6}\bigr].
Passo 3.3 — escrever a parametrização: usando parâmetros (r,\theta),
\Psi(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\bigr),
com
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr],\qquad r\in[\,1,\;2\sin\theta\,].
Comentário: esta é uma parametrização muito prática porque transforma a região de integração num retângulo no espaço dos parâmetros (r,\theta) (intervalos explícitos para r e \theta).

Passo 4

Preparar a fórmula para calcular a área de S (aula curta e aplicada).
Quando uma superfície é dada como gráfico z=g(x,y) sobre um domínio D no plano xy, a área da superfície é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}\;dA.Á
Aqui g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y, e dA é a área diferencial no plano xy.
No nosso caso g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calculemos as derivadas:
g_x=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad g_y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Então
1+g_x^{2}+g_y^{2}=1+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =1+\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1+1=2.
Portanto o integrando simplifica dramaticamente:
\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}=\sqrt{2}.
Isto é ótimo: a área da superfície é simplesmente \sqrt{2} vezes a área da região D no plano xy:
\text{Área}(S)=\sqrt{2}\iint_{D} dA=\sqrt{2}\cdot\text{Área}(D).ÁÁ

Passo 5

Calcular a área da região D em coordenadas polares e então a área de S.
Passo 5.1 — expressão para a área de D em polares:
\text{Área}(D)=\int_{\theta=\pi/6}^{5\pi/6}\int_{r=1}^{2\sin\theta} r\;dr\,d\theta.Á
Passo 5.2 — integrar em r:
\int_{1}^{2\sin\theta} r\;dr = \frac{1}{2}\Bigl[(2\sin\theta)^{2}-1^{2}\Bigr] = \frac{1}{2}\bigl(4\sin^{2}\theta - 1\bigr) =2\sin^{2}\theta-\tfrac{1}{2}.
Passo 5.3 — usar identidade trigonométrica para integrar em \theta: \sin^{2}\theta=\tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Então
2\sin^{2}\theta-\tfrac{1}{2} = 2\cdot\tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}-\cos(2\theta).
Assim
\text{Área}(D)=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\cos(2\theta)\Bigr)\,d\theta.Á
Passo 5.4 — calcular a integral:
\int\Bigl(\tfrac{1}{2}-\cos(2\theta)\Bigr)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\theta - \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) + C.
Avaliada entre \theta=\tfrac{\pi}{6} e \theta=\tfrac{5\pi}{6} obtemos
\text{Área}(D)=\left[\tfrac{1}{2}\theta - \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{6}\bigr) - \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(\tfrac{10\pi}{6})-\sin(\tfrac{\pi}{3})\bigr).Á
Note que \sin(2\cdot\tfrac{5\pi}{6})=\sin(\tfrac{5\pi}{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(2\cdot\tfrac{\pi}{6})=\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4\pi}{6} - \tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{1}{2}(-\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}.Á
Passo 5.5 — finalmente, a área da superfície S é
\text{Área}(S)=\sqrt{2}\cdot\text{Área}(D) = \sqrt{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).ÁÁ
Se quiser colocar numa forma única:
\text{Área}(S)=\frac{\pi\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} \qquad\text{(ou)}\qquad \text{Área}(S)=\sqrt{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).ÁÁ

Resposta

(a) \Phi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr),\quad (x,y)\in D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\ge1,\;x^{2}+(y-1)^{2}\le1\}.\n
(b) \Psi(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),\quad \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr],\; r\in[1,\,2\sin\theta].\n
(c) \displaystyle \text{Área}(S)=\sqrt{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=\frac{\pi\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}.Á

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