Questão 32. Calcule \int_{C} \frac{-y d x+(x-1) d y}{(x-1)^{2}+y^{2}}, onde C é a curva dada por x^{2}+y^{2}=a^{2}, x \geq 0, orientada de (0, a) a(0,-a), em que a>1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{-y\,dx+(x-1)\,dy}{(x-1)^{2}+y^{2}},
onde C é a curva x^{2}+y^{2}=a^{2} com x\ge 0, orientada de (0,a) até (0,-a).
  • Informação importante: a>1.
  • A curva C é a semicircunferência direita (meio arco do círculo de raio a centrado na origem), indo do ponto superior (0,a) até o ponto inferior (0,-a) passando pelo ponto mais à direita (a,0).

Passo 2

Reconhecendo a forma do integrando e mudança de variáveis natural.
  • Faça a mudança de variáveis centrando no ponto (1,0): defina
u=x-1,\qquad v=y.
Então du=dx e dv=dy. Substituindo no numerador obtemos
-y\,dx+(x-1)\,dy = -v\,du + u\,dv.
E o denominador fica
(x-1)^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2}.
Portanto o integrando torna-se
\frac{-y\,dx+(x-1)\,dy}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{-v\,du+u\,dv}{u^{2}+v^{2}}.

Passo 3

Interpretando \dfrac{u\,dv-v\,du}{u^{2}+v^{2}} como diferencial do argumento (ângulo).
  • Introdução didática: se escrevemos u e v em coordenadas polares centradas na origem do plano (u,v), isto é,
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{u^{2}+v^{2}} e \theta=\arg(u+iv) é o ângulo (argumento), então diferenciando obtemos uma expressão bem conhecida:
d\theta=\frac{u\,dv-v\,du}{u^{2}+v^{2}}.
  • Explicando passo a passo a fórmula: diferencie u=r\cos\theta e v=r\sin\theta,
du=dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta,\qquad dv=dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta.
Multiplicando e combinando corretamente cancela-se dr e isolando d\theta obtém-se exatamente
d\theta=\frac{u\,dv-v\,du}{u^{2}+v^{2}}.
  • Conclusão: o integrando é exatamente d\theta, o diferencial do argumento do ponto (u,v)=(x-1,y). Logo a integral de linha é a variação do argumento ao longo do caminho C:
\int_{C}\frac{-y\,dx+(x-1)\,dy}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\int_{C}d\theta=\Delta\theta,
onde \Delta\theta é a mudança contínua do ângulo \theta=\arg(x-1+iy) ao se percorrer C do ponto inicial ao final.

Passo 4

Calcular o argumento nos pontos inicial e final (tomando a escolha de ramos que segue continuamente ao longo de C).
  • Para o ponto inicial (0,a) temos
(u,v)= (0-1,\;a)=(-1,\;a).
Como u<0 e v>0, o argumento está no 2.º quadrante. Uma forma conveniente de escrevê-lo é
\theta_{\text{inicial}}=\pi-\arctan(a).
(Explicação: \arctan(a) dá o ângulo agudo com tangente a; como o vetor aponta para a esquerda e para cima acrescenta-se \pi e subtrai-se o ângulo agudo, obtendo \pi-\arctan(a).)
  • Para o ponto final (0,-a) temos
(u,v)=(-1,\;-a).
Aqui u<0 e v<0, ou seja, 3.º quadrante. Uma escrita conveniente é
\theta_{\text{final}}=-\pi+\arctan(a).
(Explicação: o ângulo principal no 3.º quadrante pode ser escrito como -\pi+\arctan(a) porque \arctan(a) é positivo e o ângulo fica um pouco maior que -\pi.)

Passo 5

Determinar a variação contínua do argumento ao percorrer C.
  • Devemos seguir a evolução contínua do ângulo enquanto nos movemos ao longo da semicircunferência direita de (0,a) para (0,-a) passando por (a,0). Não há salto de ramo porque podemos escolher o argumento contínuo ao longo do caminho: o ângulo sai de \theta_{\text{inicial}}\in(\tfrac{\pi}{2},\pi), passa por \tfrac{\pi}{2}, desce para 0 (em x=a,y=0), passa para valores negativos e chega a \theta_{\text{final}}\in(-\pi,-\tfrac{\pi}{2}).
  • Assim a variação contínua do argumento é simplesmente
\Delta\theta=\theta_{\text{final}}-\theta_{\text{inicial}}.
Substituindo os valores que calculamos:
\Delta\theta=\bigl(-\pi+\arctan(a)\bigr)-\bigl(\pi-\arctan(a)\bigr)=2\arctan(a)-2\pi.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida do comportamento limite (para dar confiança).
  • A expressão encontrada é
\Delta\theta=2\arctan(a)-2\pi.
  • Verificação rápida de plausibilidade:
    • Se a\to\infty, \arctan(a)\to\tfrac{\pi}{2} e \Delta\theta\to 2\cdot\tfrac{\pi}{2}-2\pi=-\pi. Isso faz sentido: para a muito grande a semicircunferência vista a partir de (1,0) subtende um ângulo aproximadamente \pi no sentido horário, logo variação -\pi.
    • Para a>1 fixo a quantidade é negativa (rotação no sentido horário), como observado ao percorrer a semicircunferência de cima para baixo pelo lado direito.

Resposta

2\arctan(a)-2\pi

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