Questão 32. Calcule
, onde
é a curva dada por
, orientada de
, em que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede calcular a integral de linha
onde
é a curva
com
, orientada de
até
.
- Informação importante:
. - A curva
é a semicircunferência direita (meio arco do círculo de raio centrado na origem), indo do ponto superior até o ponto inferior passando pelo ponto mais à direita .
Passo 2
Reconhecendo a forma do integrando e mudança de variáveis natural.
- Faça a mudança de variáveis centrando no ponto
: defina
Então
e
. Substituindo no numerador obtemos
E o denominador fica
Portanto o integrando torna-se
Passo 3
Interpretando
como diferencial do argumento (ângulo).
- Introdução didática: se escrevemos
e em coordenadas polares centradas na origem do plano , isto é,
onde
e
é o ângulo (argumento), então diferenciando obtemos uma expressão bem conhecida:
- Explicando passo a passo a fórmula: diferencie
e ,
Multiplicando e combinando corretamente cancela-se
e isolando
obtém-se exatamente
- Conclusão: o integrando é exatamente
, o diferencial do argumento do ponto . Logo a integral de linha é a variação do argumento ao longo do caminho :
onde
é a mudança contínua do ângulo
ao se percorrer
do ponto inicial ao final.
Passo 4
Calcular o argumento nos pontos inicial e final (tomando a escolha de ramos que segue continuamente ao longo de
).
- Para o ponto inicial
temos
Como
e
, o argumento está no 2.º quadrante. Uma forma conveniente de escrevê-lo é
(Explicação:
dá o ângulo agudo com tangente
; como o vetor aponta para a esquerda e para cima acrescenta-se
e subtrai-se o ângulo agudo, obtendo
.)
- Para o ponto final
temos
Aqui
e
, ou seja, 3.º quadrante. Uma escrita conveniente é
(Explicação: o ângulo principal no 3.º quadrante pode ser escrito como
porque
é positivo e o ângulo fica um pouco maior que
.)
Passo 5
Determinar a variação contínua do argumento ao percorrer
.
- Devemos seguir a evolução contínua do ângulo enquanto nos movemos ao longo da semicircunferência direita de
para passando por . Não há salto de ramo porque podemos escolher o argumento contínuo ao longo do caminho: o ângulo sai de , passa por , desce para (em ), passa para valores negativos e chega a . - Assim a variação contínua do argumento é simplesmente
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida do comportamento limite (para dar confiança).
- A expressão encontrada é
- Verificação rápida de plausibilidade:
- Se
, e . Isso faz sentido: para muito grande a semicircunferência vista a partir de subtende um ângulo aproximadamente no sentido horário, logo variação . - Para
fixo a quantidade é negativa (rotação no sentido horário), como observado ao percorrer a semicircunferência de cima para baixo pelo lado direito.
- Se