Suponha que, no projeto de um gerador elétrico, precisamos produzir uma tensão de 120[\mathrm{~V}] movendo um condutor reto por um campo magnético uniforme de 0,5[\mathrm{~T}] com uma velocidade de 30[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. O condutor, seu movimento e o campo são mutuamente perpendiculares. Qual é o comprimento requerido do condutor? Acontece que, no projeto do gerador, um condutor com este comprimento não é prático e devemos usar N condutores de 0,1[\mathrm{~m}] de comprimento. Entretanto, pela conexão dos condutores em série, podemos obter os 120[\mathrm{~V}] requeridos. Qual é o número N de condutores necessário?

Resposta: 80 condutores.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumindo ponto a ponto):
  • Valores fornecidos:
    • Campo magnético: B = 0{,}5\\ \mathrm{T}.
    • Velocidade do condutor: v = 30\\ \mathrm{m/s}.
    • Tensão desejada (fem total): \mathcal{E}_{\text{tot}} = 120\\ \mathrm{V}.
    • Comprimento disponível por condutor quando usaremos muitos: \ell_{\text{cada}} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • O condutor, o movimento e o campo são mutuamente perpendiculares (isso é importante).
  • Perguntas:
    1. Qual o comprimento \ell de um único condutor reto, movendo-se com v em B, necessário para gerar \mathcal{E}_{\text{tot}}=120\\ \mathrm{V}?
    2. Se isso não for prático e usarmos N condutores de 0{,}10\\ \mathrm{m} conectados em série (para somar as tensões), qual é o valor de N necessário?

Passo 2

Qual é a fórmula que relaciona esses dados? Explicação didática do efeito e da fórmula usada.
Quando um condutor reto de comprimento \ell se move com velocidade \mathbf{v} através de um campo magnético \mathbf{B}, e quando \mathbf{v}, \mathbf{B} e o próprio condutor são mutuamente perpendiculares, aparece uma diferença de potencial (força eletromotriz) entre as extremidades do condutor dada por
\mathcal{E} = B\,\ell\,v.
O porquê dessa fórmula (passo a passo curto e intuitivo):
  • Uma carga elétrica q dentro do condutor sofre força magnética \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}). Com as direções perpendiculares, o módulo é F=qvB.
  • Essa força tende a deslocar cargas ao longo do comprimento do condutor; ao estabelecer equilíbrio eletrostático, surge uma diferença de potencial V tal que qV = F\ell (energia por carga).
  • Isolando V obtemos V=\dfrac{F\ell}{q} = vB\ell. Essa V é a \mathcal{E} induzida no condutor (no caso ideal e nas condições dadas).
  • Unidades: B em tesla, v em \mathrm{m/s}, \ell em \mathrm{m} \mathcal{E} em volts. Sempre bom checar unidade para sentir que a fórmula faz sentido.
Aqui cada símbolo significa:
  • \mathcal{E}: força eletromotriz (em volts) gerada no condutor.
  • B: intensidade do campo magnético (em tesla).
  • \ell: comprimento do condutor no campo (em metros).
  • v: velocidade do condutor relativa ao campo (em metros por segundo).

Passo 3

Calcular o comprimento \ell necessário para produzir \mathcal{E}_{\text{tot}}=120\\ \mathrm{V} com os valores dados.
Partimos de
\mathcal{E} = B\,\ell\,v.
Isolando \ell,
\ell = \frac{\mathcal{E}}{B\,v}.
Substituindo os valores (usando vírgula decimal como pedido):
\ell = \frac{120}{0{,}5\cdot 30}.
Calcule o denominador primeiro: 0{,}5\cdot 30 = 15.
Portanto
\ell = \frac{120}{15} = 8\\ \mathrm{m}.
Interpretação: seria necessário um condutor único com 8\\ \mathrm{m} de comprimento, movendo-se com 30\\ \mathrm{m/s} em 0{,}5\\ \mathrm{T}, para gerar 120\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Agora a segunda parte: usar N condutores de comprimento \ell_{\text{cada}}=0{,}10\\ \mathrm{m} ligados em série para obter o mesmo total de 120\\ \mathrm{V}.
Ideia física e simplificação: cada condutor gera uma fem \mathcal{E}_{\text{cada}} = B\,\ell_{\text{cada}}\,v. Conectados em série, as fems somam (assumindo orientação tal que se somem), então a fem total é
\mathcal{E}_{\text{tot}} = N\,\mathcal{E}_{\text{cada}} = N\,B\,\ell_{\text{cada}}\,v.
Podemos também pensar mais simples: o comprimento total efetivo em série é L_{\text{tot}}=N\ell_{\text{cada}} e então \mathcal{E}_{\text{tot}}=B\,L_{\text{tot}}\,v. Ambas as visões são equivalentes.
Isolando N,
N = \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{B\,\ell_{\text{cada}}\,v}.
Substituindo números:
N = \frac{120}{0{,}5\cdot 0{,}10\cdot 30}.
Calcule passo a passo:
  • 0{,}5\cdot 0{,}10 = 0{,}05.
  • 0{,}05\cdot 30 = 1{,}5.
    Então
N = \frac{120}{1{,}5} = 80.
Verificação rápida alternativa: como antes achamos que o comprimento total necessário é 8\\ \mathrm{m}. Cada condutor tem 0{,}10\\ \mathrm{m}, logo N = 8 / 0{,}10 = 80. Mesmo resultado.

Passo 5

Observações práticas e finalização (rápidas, úteis na prova):
  • O número N deve ser inteiro; se o cálculo desse um número não inteiro, na prática arredonda-se para cima (para garantir tensão mínima requerida) e cuidaria-se da polaridade ao conectar para que as fems realmente se somem.
  • Sempre cheque unidades e a condição de perpendicularidade: a fórmula B\ell v vale quando condutor, velocidade e campo são mutuamente perpendiculares; caso contrário entra um fator \sin\theta.
  • Confirme mentalmente: dimensões fazem sentido e o valor obtido ( 8\\ \mathrm{m} e 80 condutores de 10\\ \mathrm{cm}) é consistente.

Resposta

Comprimento requerido: 8\\ \mathrm{m}
Número de condutores: 80 condutores.

Exercícios relacionados