Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
Passo 1
Aqui temos a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
6y’’+y’-y=0
e já conhecemos uma solução particular y₁(x)=e^{x/3}. O objetivo é usar redução de ordem para achar y₂(x) e depois a solução geral. O conteúdo envolve equações lineares homogêneas e a fórmula de redução de ordem.
6y’’+y’-y=0
e já conhecemos uma solução particular y₁(x)=e^{x/3}. O objetivo é usar redução de ordem para achar y₂(x) e depois a solução geral. O conteúdo envolve equações lineares homogêneas e a fórmula de redução de ordem.
Passo 2
Dividimos a equação por 6 para colocá-la na forma padrão y’’+p(x)y’+q(x)y=0. Assim,
de onde identificamos
Passo 3
Na redução de ordem, usamos o fator
A segunda solução y₂ é dada por
Passo 4
Substituindo y₁=e^{x/3} e μ(x)=e^{-x/6} na integral:
Logo,
Como podemos multiplicar por constante, escolhemos
y_2=e^{-x/2}.
y_2=e^{-x/2}.
Passo 5
Com as duas soluções independentes y₁=e^{x/3} e y₂=e^{-x/2}, a solução geral da EDO é a combinação linear
Resposta
A solução geral é
.