Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
6 y^prime prime+y^prime-y=0, y1=e^pi3

Passo 1

Aqui temos a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
6y’’+y’-y=0
e já conhecemos uma solução particular y₁(x)=e^{x/3}. O objetivo é usar redução de ordem para achar y₂(x) e depois a solução geral. O conteúdo envolve equações lineares homogêneas e a fórmula de redução de ordem.

Passo 2

Dividimos a equação por 6 para colocá-la na forma padrão y’’+p(x)y’+q(x)y=0. Assim,
y''+16y'-16y=0
de onde identificamos
p(x)=16, q(x)=-16

Passo 3

Na redução de ordem, usamos o fator
mu(x)=expl(-integral p(x),dxr)=expl(-tfracx6r)
A segunda solução y₂ é dada por
y2=y1integralmu(x)y1^2,dx

Passo 4

Substituindo y₁=e^{x/3} e μ(x)=e^{-x/6} na integral:
integrale^-x/6(e^x/3)^2,dx =integral e^-x/6-2x/3,dx =integral e^-5x/6,dx = -65e^-5x/6
Logo,
y2 = e^x/3l(-65e^-5x/6r) = -65e^-x/2
Como podemos multiplicar por constante, escolhemos
y_2=e^{-x/2}.

Passo 5

Com as duas soluções independentes y₁=e^{x/3} e y₂=e^{-x/2}, a solução geral da EDO é a combinação linear
y(x)=C1e^x/3+C2e^-x/2

Resposta

A solução geral é y=C1e^x/3+C2e^-x/2.

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