Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y)=(-x+3 y, 3 x-9 y, 2 x-6 y), classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor ( -6,-2 ) pertence ao núcleo de T
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(-x+3y,\;3x-9y,\;2x-6y).
A pergunta é: classificar como verdadeira ou falsa a afirmação "o vetor (-6,-2) pertence ao núcleo de T".
Informações relevantes dadas:
A fórmula explícita de T (peguei-a do enunciado).
O vetor a testar é (-6,-2).
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa "pertencer ao núcleo de T".
Definição do núcleo:
Ou seja, um vetor está no núcleo se e somente se sua imagem por T é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Agora vamos calcular T aplicado ao vetor (-6,-2) passo a passo, substituindo x=-6 e y=-2 na fórmula de T.
Primeira componente:
-x+3y = -(-6)+3(-2)=6-6=0.
Segunda componente:
3x-9y = 3(-6)-9(-2)=-18+18=0.
Terceira componente:
2x-6y = 2(-6)-6(-2)=-12+12=0.
Portanto
T(-6,-2)=(0,0,0).
Passo 4
Como [T(-6,-2)=(0,0,0)), pelo item do Passo 2 concluímos que (-6,-2)\in\ker(T). Vou também fazer uma verificação alternativa e didática que ajuda a entender a estrutura do núcleo.
Da primeira equação vem x=3y\]. Substituindo nas outras duas dá \(3(3y)-9y=0 e 2(3y)-6y=0, que são identicamente verdadeiras, ou seja, não impõem condições adicionais. Logo todos os vetores do núcleo têm a forma (x,y)=(3y,y)=y(3,1). Assim
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1)\}.
Nota que (-6,-2)=-2(3,1), portanto fica claro também por esse argumento que (-6,-2) pertence ao núcleo.]
Passo 5
Resumo didático rápido: para testar se um vetor está no núcleo, basta aplicar T e ver se o resultado é o vetor nulo. Aqui o cálculo direto mostrou isso; a análise do sistema mostrou que o núcleo é a reta gerada por (3,1) e que (-6,-2) está nessa reta. Força aí — já era! 😃