Seja
definida por
, classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor
pertence a imagem de
.
O vetor
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear
definida por
e pergunta se o vetor
pertence à imagem de
.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- A imagem de
é o conjunto de todos os vetores da forma com . - O vetor alvo é
.
O que precisamos decidir: existetal que ?
Passo 2
Escrevo explicitamente o sistema que precisa ser satisfeito por
:
Se esse sistema tem solução, então
está na imagem; se não tem, então não está.
Passo 3
Observe relações entre as equações: posso relacionar as segundas e terceiras coordenadas com a primeira coordenada.
Calculo:
Calculo:
Portanto, para todo
vale
Ou, escrevendo de forma mais compacta, se definirmos
então
Isto mostra que a imagem de
é o subespaço gerado pelo único vetor
; ou seja,
Passo 4
Logo, um vetor
pertence à imagem de
se, e somente se, existe
tal que
isto é, se todas as coordenadas de
são proporcionais entre si conforme esse gerador. Para o nosso
isso significa verificar se existe
tal que
Passo 5
Calculo
a partir de cada coordenada:
Os três valores obtidos para
são diferentes (
), então não existe um único
que satisfaça todas as coordenadas simultaneamente.
Passo 6
Como não há
comum, não existe
com
. Portanto
não pertence à imagem de
. Calma: esse tipo de verificação por proporcionalidade é um truque rápido quando as coordenadas aparecem como múltiplos umas das outras — economiza trabalho de resolver o sistema completo.
Resposta
Falso