Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y)=(-x+3 y, 3 x-9 y, 2 x-6 y), classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right) pertence a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(-x+3y,\;3x-9y,\;2x-6y)
e pergunta se o vetor \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}\right) pertence à imagem de T.
Dados relevantes:
  • A imagem de T é o conjunto de todos os vetores da forma T(x,y) com (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O vetor alvo é v=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}\right).
    O que precisamos decidir: existe (x,y)\in\mathbb{R}^2 tal que T(x,y)=v?

Passo 2

Escrevo explicitamente o sistema que precisa ser satisfeito por (x,y):
-x+3y=\tfrac{1}{2}
3x-9y=-\tfrac{1}{3}
2x-6y=\tfrac{1}{4}
Se esse sistema tem solução, então v está na imagem; se não tem, então não está.

Passo 3

Observe relações entre as equações: posso relacionar as segundas e terceiras coordenadas com a primeira coordenada.
Calculo:
3x-9y = -3(-x+3y)
2x-6y = -2(-x+3y)
Portanto, para todo (x,y) vale
T(x,y)=(-x+3y,\; -3(-x+3y),\; -2(-x+3y)).
Ou, escrevendo de forma mais compacta, se definirmos t=-x+3y então
T(x,y)=t\,(1,-3,-2).
Isto mostra que a imagem de T é o subespaço gerado pelo único vetor (1,-3,-2); ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-3,-2)\}.

Passo 4

Logo, um vetor w=(w_1,w_2,w_3) pertence à imagem de T se, e somente se, existe t\in\mathbb{R} tal que
w=t(1,-3,-2),
isto é, se todas as coordenadas de w são proporcionais entre si conforme esse gerador. Para o nosso v isso significa verificar se existe t tal que
t=\tfrac{1}{2},\qquad -3t=-\tfrac{1}{3},\qquad -2t=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calculo t a partir de cada coordenada:
\text{da 1ª coordenada: } t=\tfrac{1}{2}.ª
\text{da 2ª coordenada: } -3t=-\tfrac{1}{3}\implies t=\frac{-\tfrac{1}{3}}{-3}=\tfrac{1}{9}.ª
\text{da 3ª coordenada: } -2t=\tfrac{1}{4}\implies t=\frac{\tfrac{1}{4}}{-2}=-\tfrac{1}{8}.ª
Os três valores obtidos para t são diferentes ( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{9},-\tfrac{1}{8}), então não existe um único t que satisfaça todas as coordenadas simultaneamente.

Passo 6

Como não há t comum, não existe (x,y) com T(x,y)=v. Portanto v não pertence à imagem de T. Calma: esse tipo de verificação por proporcionalidade é um truque rápido quando as coordenadas aparecem como múltiplos umas das outras — economiza trabalho de resolver o sistema completo.

Resposta

Falso

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