Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y)=(-x+3 y, 3 x-9 y, 2 x-6 y), classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor \left(\frac{1}{6},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right) pertence a imagem de T

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(-x+3y,\;3x-9y,\;2x-6y),
e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: o vetor \left(\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3}\right) pertence à imagem de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de T(x,y).
  • O vetor candidato v=\left(\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3}\right).
  • A pergunta é se existe (x,y)\in\mathbb{R}^2 tal que T(x,y)=v.

Passo 2

O que significa "pertencer à imagem de T"? Vou explicar devagar:
  • A imagem de T, denotada \operatorname{Im}(T), é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que aparecem como saída de T, ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\{T(x,y)\mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
  • Para testar se v está na imagem, basta tentar resolver a equação
T(x,y)=v
para (x,y). Se existir solução, v\in\operatorname{Im}(T); se não, então v\notin\operatorname{Im}(T).

Passo 3

Escrevendo explicitamente o sistema T(x,y)=v\): \[\begin{cases} -x+3y=\dfrac{1}{6},\\[4pt] 3x-9y=-\dfrac{1}{2},\\[4pt] 2x-6y=-\dfrac{1}{3}. \end{cases}
Antes de resolver passo a passo, vale observar um padrão nas componentes de T(x,y)\]. Note que as três expressões têm a mesma combinação linear \(x-3y. Escrevendo isso:
-x+3y=-(x-3y),\qquad 3x-9y=3(x-3y),\qquad 2x-6y=2(x-3y).
Portanto, para qualquer (x,y) temos
T(x,y)=( -u,\;3u,\;2u),
onde definimos u:=x-3y. Assim a imagem de T é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (-1,3,2), ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(-1,3,2)\}=\{u(-1,3,2)\mid u\in\mathbb{R}\}.]

Passo 4

Com a observação anterior, para que v esteja na imagem é necessário e suficiente que v seja um múltiplo escalar de (-1,3,2). Vamos verificar se as três componentes de v são proporcionais às de (-1,3,2). Calcule as razões:
\frac{\tfrac{1}{6}}{-1}=-\tfrac{1}{6},\qquad \frac{-\tfrac{1}{2}}{3}=-\tfrac{1}{6},\qquad \frac{-\tfrac{1}{3}}{2}=-\tfrac{1}{6}.
As três razões são iguais a -\tfrac{1}{6}. Isso mostra que
v=\left(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3}\right)=\left(-\tfrac{1}{6}\right)\cdot(-1,3,2).
Logo existe u=-\tfrac{1}{6} tal que v=u(-1,3,2), o que significa v\in\operatorname{Im}(T).

Passo 5

Agora, para ficar totalmente concreto — e para você conseguir reproduzir isso na prova — encontremos explicitamente um par (x,y) com T(x,y)=v.
Como u=x-3y deve ser -\tfrac{1}{6}, temos a equação
x-3y=-\tfrac{1}{6}.
Essa equação tem infinitas soluções (um grau de liberdade). Por exemplo, escolhendo y=0 obtemos x=-\tfrac{1}{6}. Verificação:
T\!\left(-\tfrac{1}{6},0\right)=\Big(-\big(-\tfrac{1}{6}\big)+0,\;3\big(-\tfrac{1}{6}\big)+0,\;2\big(-\tfrac{1}{6}\big)+0\Big) =\Big(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3}\Big)=v.
Também podemos escrever a solução geral: para qualquer t\in\mathbb{R},
y=t,\qquad x=-\tfrac{1}{6}+3t,
pois então x-3y=-\tfrac{1}{6} e T(x,y)=v.

Resposta

Verdadeira.

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