Seja
definida por
, classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor
pertence a imagem de
O vetor
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: o vetor
pertence à imagem de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
. - O vetor candidato
. - A pergunta é se existe
tal que .
Passo 2
O que significa "pertencer à imagem de
"? Vou explicar devagar:
- A imagem de
, denotada , é o conjunto de todos os vetores em que aparecem como saída de , ou seja,
- Para testar se
está na imagem, basta tentar resolver a equação
para
. Se existir solução,
; se não, então
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente o sistema
Antes de resolver passo a passo, vale observar um padrão nas componentes de
. Escrevendo isso:
Portanto, para qualquer
temos
onde definimos
. Assim a imagem de
é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor
, ou seja,
Passo 4
Com a observação anterior, para que
esteja na imagem é necessário e suficiente que
seja um múltiplo escalar de
. Vamos verificar se as três componentes de
são proporcionais às de
. Calcule as razões:
As três razões são iguais a
. Isso mostra que
Logo existe
tal que
, o que significa
.
Passo 5
Agora, para ficar totalmente concreto — e para você conseguir reproduzir isso na prova — encontremos explicitamente um par
com
.
Como
deve ser
, temos a equação
Essa equação tem infinitas soluções (um grau de liberdade). Por exemplo, escolhendo
obtemos
. Verificação:
Também podemos escrever a solução geral: para qualquer
,
pois então
e
.
Resposta
Verdadeira.