Seja T: \mathbb{R}^{m} \longrightarrow \mathbb{R}^{n} uma transformação linear. Mostre que:
Se T é sobrejetiva, então n \leqslant m.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n} e pede para mostrar a seguinte implicação: se T é sobrejetiva, então n \leqslant m.\n
Informações relevantes que recebemos:
  • O domínio de T é \mathbb{R}^{m} (espaço vetorial de dimensão m).
  • O contradomínio de T é \mathbb{R}^{n} (espaço vetorial de dimensão n).
  • A hipótese é que T é sobrejetiva (isto é, \operatorname{Im}T = \mathbb{R}^{n}).
  • O objetivo é deduzir uma desigualdade entre as dimensões: n \leqslant m.

Passo 2

Vamos introduzir definições que precisamos entender passo a passo (não assuma que já sabe):\n
Definição 1 — núcleo (kernel): \ker T = \{v\in\mathbb{R}^{m}\mid T(v)=0\}. É um subespaço de \mathbb{R}^{m}.\n
Definição 2 — imagem: \operatorname{Im}T = \{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^{m}\}. É um subespaço de \mathbb{R}^{n}.\n
Definição 3 — dimensão de um subespaço: a dimensão é o número de vetores de qualquer base desse subespaço. Chamamos \dim(\ker T) de nullidade (nullity) e \dim(\operatorname{Im}T) de posto (rank).\n
Essas definições são essenciais porque a relação entre \dim(\ker T), \dim(\operatorname{Im}T) e m será a peça-chave.

Passo 3

Enunciamos agora um teorema fundamental (e vamos provar um esboço dele): Teorema da dimensão (Teorema do posto-nulidade) para T:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}:
m = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T).
Vou provar de modo concreto e elementar — é um argumento padrão baseado em extensão de base, e é útil para a prova pedida.\n
  1. Primeiro, tome uma base do subespaço \ker T. Como \ker T é subespaço de \mathbb{R}^{m}, existe uma base finita; seja essa base \{u_1,\dots,u_k\}. Então \dim(\ker T)=k.\n
  2. Agora, estenda essa base \{u_1,\dots,u_k\} a uma base de todo \mathbb{R}^{m}. Isso é sempre possível em espaços vetoriais finito-dimensionais: existe uma sequência de vetores v_{k+1},\dots,v_m tais que
\{u_1,\dots,u_k,v_{k+1},\dots,v_m\}
é uma base de \mathbb{R}^{m}. Note que agora temos exatamente m vetores na base, então m=k+(m-k).\n
3) A ideia é analisar as imagens desses vetores pela transformação T. Observe que T(u_i)=0 para todo i=1,\dots,k (porque os u_i estão no núcleo). Para os vetores v_{k+1},\dots,v_m temos imagens não necessariamente nulas. Considere o conjunto
\{T(v_{k+1}),\dots,T(v_m)\}\subseteq \operatorname{Im}T.
Vou mostrar que esse conjunto é uma base de \operatorname{Im}T.\n
4) Primeiro, mostraremos que esses vetores geram \operatorname{Im}T (span). Seja y\in\operatorname{Im}T. Então existe x\in\mathbb{R}^{m} com T(x)=y. Como \{u_1,\dots,u_k,v_{k+1},\dots,v_m\} é base de \mathbb{R}^{m}, podemos escrever
x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i u_i + \sum_{j=k+1}^{m} \beta_j v_j.
Aplicando T linear:
y = T(x) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i T(u_i) + \sum_{j=k+1}^{m} \beta_j T(v_j) = \sum_{j=k+1}^{m} \beta_j T(v_j),
pois T(u_i)=0. Assim qualquer y\in\operatorname{Im}T é combinação linear dos vetores T(v_{k+1}),\dots,T(v_m): eles geram \operatorname{Im}T.\n
5) Agora, mostraremos que T(v_{k+1}),\dots,T(v_m) são linearmente independentes. Suponha que exista combinação linear que dê zero:
\sum_{j=k+1}^{m} \gamma_j T(v_j)=0.
Pela linearidade, isso é T\!\big(\sum_{j=k+1}^{m} \gamma_j v_j\big)=0. Logo w:=\sum_{j=k+1}^{m} \gamma_j v_j\in\ker T. Mas lembre que os vetores \{u_1,\dots,u_k,v_{k+1},\dots,v_m\} são uma base: são linearmente independentes. A expressão de w em termos da base não envolve os u_i (coeficiente zero para eles), então se w pertence ao subespaço gerado por \{u_1,\dots,u_k\} (que é \ker T), necessariamente todos os \gamma_j têm de ser zero (pois os v_j não estão no span dos u_i pela independência da base estendida). Logo \gamma_j=0 para todo j, o que prova a independência linear das imagens.\n
6) Assim \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_m)\} é uma base de \operatorname{Im}T. Portanto
\dim(\operatorname{Im}T)=m-k.
Mas lembrando que k=\dim(\ker T), obtemos a fórmula desejada
m = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T).

Passo 4

Agora usemos a hipótese de sobrejetividade. Se T é sobrejetiva, então \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{n}. Como \mathbb{R}^{n} tem dimensão n, segue que
\dim(\operatorname{Im}T)=n.

Passo 5

Substituindo na fórmula da dimensão do Passo 3, obtemos
m = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T) = \dim(\ker T) + n.
Como \dim(\ker T) é um número não negativo, concluímos imediatamente que
m \ge n,
ou seja,
n \leqslant m.

Passo 6

Intuição final e encorajamento: geometrizando, uma transformação linear sobrejetiva de \mathbb{R}^m para \mathbb{R}^n precisa “cobrir” um espaço de dimensão n; para isso o domínio precisa ter pelo menos essa quantidade de graus de liberdade — por isso não dá para ter n>m. Você já fez o trabalho técnico: o teorema posto-nulidade transforma essa intuição em conta exata. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio que usamos.

Resposta

n \leqslant m

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