Seja
uma transformação linear. Mostre que:
Se
é sobrejetiva, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pede para mostrar a seguinte implicação: se
é sobrejetiva, então
.\n
Informações relevantes que recebemos:
Informações relevantes que recebemos:
- O domínio de
é (espaço vetorial de dimensão ). - O contradomínio de
é (espaço vetorial de dimensão ). - A hipótese é que
é sobrejetiva (isto é, ). - O objetivo é deduzir uma desigualdade entre as dimensões:
.
Passo 2
Vamos introduzir definições que precisamos entender passo a passo (não assuma que já sabe):\n
Definição 1 — núcleo (kernel): . É um subespaço de
.\n
Definição 2 — imagem: . É um subespaço de
.\n
Definição 3 — dimensão de um subespaço: a dimensão é o número de vetores de qualquer base desse subespaço. Chamamos de nullidade (nullity) e
de posto (rank).\n
Essas definições são essenciais porque a relação entre ,
e
será a peça-chave.
Definição 1 — núcleo (kernel):
Definição 2 — imagem:
Definição 3 — dimensão de um subespaço: a dimensão é o número de vetores de qualquer base desse subespaço. Chamamos
Essas definições são essenciais porque a relação entre
Passo 3
Enunciamos agora um teorema fundamental (e vamos provar um esboço dele): Teorema da dimensão (Teorema do posto-nulidade) para
:
Vou provar de modo concreto e elementar — é um argumento padrão baseado em extensão de base, e é útil para a prova pedida.\n
- Primeiro, tome uma base do subespaço
. Como é subespaço de , existe uma base finita; seja essa base . Então .\n - Agora, estenda essa base
a uma base de todo . Isso é sempre possível em espaços vetoriais finito-dimensionais: existe uma sequência de vetores tais que
é uma base de
. Note que agora temos exatamente
vetores na base, então
.\n
3) A ideia é analisar as imagens desses vetores pela transformação . Observe que
para todo
(porque os
estão no núcleo). Para os vetores
temos imagens não necessariamente nulas. Considere o conjunto
3) A ideia é analisar as imagens desses vetores pela transformação
Vou mostrar que esse conjunto é uma base de
.\n
4) Primeiro, mostraremos que esses vetores geram (span). Seja
. Então existe
com
. Como
é base de
, podemos escrever
4) Primeiro, mostraremos que esses vetores geram
Aplicando
linear:
pois
. Assim qualquer
é combinação linear dos vetores
: eles geram
.\n
5) Agora, mostraremos que são linearmente independentes. Suponha que exista combinação linear que dê zero:
5) Agora, mostraremos que
Pela linearidade, isso é
. Logo
. Mas lembre que os vetores
são uma base: são linearmente independentes. A expressão de
em termos da base não envolve os
(coeficiente zero para eles), então se
pertence ao subespaço gerado por
(que é
), necessariamente todos os
têm de ser zero (pois os
não estão no span dos
pela independência da base estendida). Logo
para todo
, o que prova a independência linear das imagens.\n
6) Assim é uma base de
. Portanto
6) Assim
Mas lembrando que
, obtemos a fórmula desejada
Passo 4
Agora usemos a hipótese de sobrejetividade. Se
é sobrejetiva, então
. Como
tem dimensão
, segue que
Passo 5
Substituindo na fórmula da dimensão do Passo 3, obtemos
Como
é um número não negativo, concluímos imediatamente que
ou seja,
Passo 6
Intuição final e encorajamento: geometrizando, uma transformação linear sobrejetiva de
para
precisa “cobrir” um espaço de dimensão
; para isso o domínio precisa ter pelo menos essa quantidade de graus de liberdade — por isso não dá para ter
. Você já fez o trabalho técnico: o teorema posto-nulidade transforma essa intuição em conta exata. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio que usamos.