2^{a} Questão(2,0) Seja T: V \longrightarrow W uma transformação linear real e \alpha e \beta bases de V e de W respectivamente. Mostre que
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) \text { e } \operatorname{dim} \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{dim} V-\operatorname{posto}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) .
O posto de ( [T]_{\beta}^{\alpha} ) depende da escolha das bases \alpha e de \beta ? Por que?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:V\to W (espaços vetoriais reais) e duas bases: \alpha da fonte V e \beta do alvo W. Pede para mostrar duas igualdades:
onde a coluna j é o vetor de coordenadas de T(v_j) em \beta.
Explicação didática curta: a matriz pega as coordenadas de um vetor x\in V na base \alpha e retorna as coordenadas de T(x) na base \beta. Isso é a razão de a coluna j representar T(v_j).]
Passo 3
Mostrando que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\}.
Prova passo a passo:
Seja x\in V. Como \alpha é base, existem escalares c_1,\dots,c_n tais que x=\sum_{j=1}^n c_j v_j.
Logo T(x) está no span de \{T(v_1),\dots,T(v_n)\}. Como x foi arbitrário, \operatorname{Im}(T)\subseteq\operatorname{span}\{T(v_j)\}.
Invertemos: qualquer combinação linear \sum_j d_j T(v_j) é T\big(\sum_j d_j v_j\big), portanto pertence a \operatorname{Im}(T). Assim \operatorname{span}\{T(v_j)\}\subseteq\operatorname{Im}(T).
Didática: isto mostra que a imagem de T é gerada pelas imagens dos vetores da base de V. Fácil de lembrar na prova: “aplico T nas combinações da base”.
Passo 4
Relacionando a coluna-espaço da matriz com \operatorname{Im}(T).
Defina o isomorfismo de coordenadas relativo à base \beta:
Aplicando o isomorfismo inverso [\cdot]_{\beta}^{-1} vemos que esse espaço de colunas corresponde exatamente a \operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\}=\operatorname{Im}(T). Como isomorfismos preservam dimensão,
Didática: pense assim — as colunas são só as coordenadas das imagens; o espaço que elas geram em \mathbb{R}^m é a imagem escrita em coordenadas. Dimensão não muda ao trocar entre coordenadas e vetores reais.
Passo 5
Concluindo a primeira igualdade: \operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big).
Por definição, o posto de uma matriz é a dimensão do seu espaço de colunas:
e \dim\operatorname{Im}(T) é uma propriedade intrínseca da transformação linear T (não depende de como escolhemos coordenadas). Assim qualquer outra escolha de bases produzirá uma matriz diferente, mas com o mesmo posto.
Complemento opcional (más técnico): se trocarmos bases, as matrizes representam a mesma transformação com relação a coordenadas diferentes e são relacionadas por multiplicações por matrizes invertíveis à esquerda e à direita. Multiplicar por matrizes invertíveis não altera o posto, portanto o posto permanece o mesmo.
Didática final: pense assim — a forma (entradas) da matriz muda com a base, mas o número máximo de colunas independentes (o posto) é uma característica de T e é invariável.
Resposta
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big) \operatorname{dim}\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{dim}V-\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)
Não, o posto não depende da escolha das bases, porque ele é igual a \dim\operatorname{Im}(T), que é uma propriedade da transformação T e não das bases.