2^{a} Questão(2,0) Seja T: V \longrightarrow W uma transformação linear real e \alpha e \beta bases de V e de W respectivamente. Mostre que
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) \text { e } \operatorname{dim} \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{dim} V-\operatorname{posto}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) .
O posto de ( [T]_{\beta}^{\alpha} ) depende da escolha das bases \alpha e de \beta ? Por que?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:V\to W (espaços vetoriais reais) e duas bases: \alpha da fonte V e \beta do alvo W. Pede para mostrar duas igualdades:
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)
e
\operatorname{dim}\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{dim}V-\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big).
Também pergunta se o posto da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} depende da escolha das bases \alpha e \beta e por quê.
As informações relevantes que temos:
  • \alpha=(v_1,\dots,v_n) é uma base de V (logo \dim V=n).
  • \beta=(w_1,\dots,w_m) é uma base de W.
  • [T]_{\beta}^{\alpha} é a matriz que representa T na base \alpha de V e \beta de W.

Passo 2

Definição e interpretação da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
Se \alpha=(v_1,\dots,v_n) e \beta=(w_1,\dots,w_m), então cada imagem T(v_j) é um vetor de W e pode ser escrita em coordenadas pela base \beta:
T(v_j)=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, w_i.
Esses coeficientes formam a j-ésima coluna da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}. Ou seja, escrevemos
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},
onde a coluna j é o vetor de coordenadas de T(v_j) em \beta.
Explicação didática curta: a matriz pega as coordenadas de um vetor x\in V na base \alpha e retorna as coordenadas de T(x) na base \beta. Isso é a razão de a coluna j representar T(v_j).]

Passo 3

Mostrando que \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\}.
Prova passo a passo:
  • Seja x\in V. Como \alpha é base, existem escalares c_1,\dots,c_n tais que x=\sum_{j=1}^n c_j v_j.
  • Aplicando T obtemos
T(x)=T\Big(\sum_{j=1}^n c_j v_j\Big)=\sum_{j=1}^n c_j T(v_j).
Logo T(x) está no span de \{T(v_1),\dots,T(v_n)\}. Como x foi arbitrário, \operatorname{Im}(T)\subseteq\operatorname{span}\{T(v_j)\}.
  • Invertemos: qualquer combinação linear \sum_j d_j T(v_j) é T\big(\sum_j d_j v_j\big), portanto pertence a \operatorname{Im}(T). Assim \operatorname{span}\{T(v_j)\}\subseteq\operatorname{Im}(T).
  • Conclusão:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\}.
Didática: isto mostra que a imagem de T é gerada pelas imagens dos vetores da base de V. Fácil de lembrar na prova: “aplico T nas combinações da base”.

Passo 4

Relacionando a coluna-espaço da matriz com \operatorname{Im}(T).
Defina o isomorfismo de coordenadas relativo à base \beta:
[\cdot]_{\beta}:W\longrightarrow\mathbb{R}^m,\qquad w=\sum_{i=1}^m y_i w_i \mapsto \begin{pmatrix}y_1\\vdots\y_m\end{pmatrix}.
Esse mapa é linear e bijetivo (é um isomorfismo de espaços vetoriais). Agora observe:
  • A coluna j da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é exatamente [T(v_j)]_{\beta}, o vetor coordenado de T(v_j).
  • Portanto o espaço gerado pelas colunas da matriz (o column space) é
\operatorname{Col}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)=\operatorname{span}\{[T(v_1)]_{\beta},\dots,[T(v_n)]_{\beta}\}.
  • Aplicando o isomorfismo inverso [\cdot]_{\beta}^{-1} vemos que esse espaço de colunas corresponde exatamente a \operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\}=\operatorname{Im}(T). Como isomorfismos preservam dimensão,
\dim\big(\operatorname{Col}([T]_{\beta}^{\alpha})\big)=\dim(\operatorname{Im}(T)).
Didática: pense assim — as colunas são só as coordenadas das imagens; o espaço que elas geram em \mathbb{R}^m é a imagem escrita em coordenadas. Dimensão não muda ao trocar entre coordenadas e vetores reais.

Passo 5

Concluindo a primeira igualdade: \operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big).
Por definição, o posto de uma matriz é a dimensão do seu espaço de colunas:
\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)=\dim\big(\operatorname{Col}([T]_{\beta}^{\alpha})\big).
Da igualdade de dimensões obtida no passo anterior segue diretamente
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big).
Reforço didático: então, na prática, contar o número de colunas linearmente independentes da matriz é contar a dimensão da imagem de T.

Passo 6

Usando o teorema da dimensão (posto-nulidade) para obter a segunda igualdade.
O teorema da dimensão para transformações lineares (também chamado teorema posto-nulidade) diz que, para T:V\to W,
\dim V=\dim\operatorname{Ker}(T)+\dim\operatorname{Im}(T).
Substituindo \dim\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big) do passo anterior, obtemos
\dim\operatorname{Ker}(T)=\dim V-\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big).
Isso prova a segunda igualdade pedida.
Didática: lembre que no enunciado pediram exatamente isso — é só aplicar posto-nulidade depois de identificar o posto com a dimensão da imagem.

Passo 7

Resposta à pergunta: o posto de [T]_{\beta}^{\alpha} depende da escolha das bases?
Resposta clara e motivos:
  • Não: o valor numérico do posto (ou seja, a dimensão do espaço coluna) não depende da escolha das bases \alpha e \beta.
  • Por quê? Porque mostramos que
\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)=\dim\operatorname{Im}(T),
e \dim\operatorname{Im}(T) é uma propriedade intrínseca da transformação linear T (não depende de como escolhemos coordenadas). Assim qualquer outra escolha de bases produzirá uma matriz diferente, mas com o mesmo posto.
  • Complemento opcional (más técnico): se trocarmos bases, as matrizes representam a mesma transformação com relação a coordenadas diferentes e são relacionadas por multiplicações por matrizes invertíveis à esquerda e à direita. Multiplicar por matrizes invertíveis não altera o posto, portanto o posto permanece o mesmo.
Didática final: pense assim — a forma (entradas) da matriz muda com a base, mas o número máximo de colunas independentes (o posto) é uma característica de T e é invariável.

Resposta

\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)=\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)
\operatorname{dim}\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{dim}V-\operatorname{posto}\big([T]_{\beta}^{\alpha}\big)
Não, o posto não depende da escolha das bases, porque ele é igual a \dim\operatorname{Im}(T), que é uma propriedade da transformação T e não das bases.

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