Seja
uma transformação linear. Mostre que:
Se
é injetiva, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pede que mostremos a implicação: se
é injetiva, então
.
Informações relevantes dadas:
Há uma transformação linear
entre espaços vetoriais reais de dimensões
e
.
Sabemos que
é injetiva (isto é, elementos distintos no domínio têm imagens distintas).
O que precisamos mostrar:
A desigualdade entre as dimensões:
.
Passo 2
Definição e primeira observação útil (sobre injetividade e núcleo).
Definição de injetividade:
é injetiva significa que, sempre que
, então
. Uma forma prática de usar isso é comparar com o vetor
:
é injetiva se e somente se a única solução de
é
.
Por que isso vale? Porque
. Se
é injetiva e
, então pela injetividade temos
. Portanto, para uma transformação linear injetiva,
Vou usar isso adiante: injetividade ⇔
.
Passo 3
Definições de núcleo, imagem, dimensão, posto e nulidade — e por que são importantes.
Definição do núcleo:
. É um subespaço de
.
Definição da imagem:
. É um subespaço de
.
Definição de dimensão: para um subespaço
,
é o número de vetores de qualquer base de
.
Definição de nulidade:
.
Definição de posto (rank):
.
Essas quantidades se relacionam pela fórmula que vou explicar no passo seguinte.
Passo 4
Enunciado e explicação do Teorema do posto-nulidade (rank–nullity) — e prova curta e intuitiva.
Teorema do posto-nulidade: para uma transformação linear
,
ou seja,
Explicação intuitiva e prova curta (passo a passo, sem pular etapas):
- Tome uma base da
. Seja essa base formada por vetores; então . Se então . - Como a base da
não gera todo (exceto no caso trivial), podemos estendê-la a uma base de : isto é, acrescentamos mais vetores de modo que
é uma base de
. Pelo número total de vetores, o tamanho dessa base completa é
.
3) A imagem dos vetores estendidos, , gera
. Além disso, esses vetores são linearmente independentes (se houvesse combinação linear nula com coeficientes não todos nulos, a combinação nos levaria a um vetor do núcleo distinto de zero, contradizendo a construção).
4) Portanto tem uma base com
vetores, ou seja
.
5) Rearranjando, . Mas . Assim provamos o teorema.
3) A imagem dos vetores estendidos,
4) Portanto
5) Rearranjando, . Mas . Assim provamos o teorema.
Esse teorema é uma ferramenta padrão em provas: ele relaciona diretamente a dimensão do domínio com as dimensões do núcleo e da imagem.
Passo 5
Aplicando o teorema ao caso em que
é injetiva.
Se
é injetiva, do Passo 2 temos
. Então
Usando o teorema do posto-nulidade (Passo 4),
logo
Passo 6
Por que
e conclusão final.
A imagem
é um subespaço de
. Qualquer subespaço de
tem dimensão menor ou igual a
. Em termos de posto:
Combinação com o resultado do Passo 5 (
) dá
que é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 7
Interpretação rápida e dica de prova na prova (como lembrar e aplicar rapidamente).
Interpretação: uma aplicação linear injetiva não pode “espremer” um espaço de dimensão maior num espaço de dimensão menor sem colidir vetores — se
, sempre haverá vetores distintos com mesma imagem (pense em empurrar mais vetores em menos “coordenadas”).
Dica prática para prova rápida em prova: diga que injetividade implica
, aplique posto–nulidade
, e observe
porque
. Então finalize
. É curtinho e seguro.