Seja T: \mathbb{R}^{m} \longrightarrow \mathbb{R}^{n} uma transformação linear. Mostre que:
Se T é injetiva, então m \leqslant n.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{m}\longrightarrow \mathbb{R}^{n} e pede que mostremos a implicação: se T é injetiva, então m \leqslant n.
Informações relevantes dadas:
\;1.\; Há uma transformação linear T entre espaços vetoriais reais de dimensões m e n.
\;2.\; Sabemos que T é injetiva (isto é, elementos distintos no domínio têm imagens distintas).
O que precisamos mostrar:
\;1.\; A desigualdade entre as dimensões: m \leqslant n.

Passo 2

Definição e primeira observação útil (sobre injetividade e núcleo).
Definição de injetividade: T é injetiva significa que, sempre que T(u)=T(v), então u=v. Uma forma prática de usar isso é comparar com o vetor 0: T é injetiva se e somente se a única solução de T(v)=0 é v=0.
Por que isso vale? Porque T(0)=0. Se T é injetiva e T(v)=0=T(0), então pela injetividade temos v=0. Portanto, para uma transformação linear injetiva,
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^m\mid T(v)=0\}=\{0\}.
Vou usar isso adiante: injetividade ⇔ \ker(T)=\{0\}.

Passo 3

Definições de núcleo, imagem, dimensão, posto e nulidade — e por que são importantes.
Definição do núcleo: \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^m \mid T(v)=0\}. É um subespaço de \mathbb{R}^m.
Definição da imagem: \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in\mathbb{R}^n \mid v\in\mathbb{R}^m\}. É um subespaço de \mathbb{R}^n.
Definição de dimensão: para um subespaço W, \dim(W) é o número de vetores de qualquer base de W.
Definição de nulidade: \nullity(T)=\dim(\ker(T)).
Definição de posto (rank): \rank(T)=\dim(\operatorname{Im}(T)).
Essas quantidades se relacionam pela fórmula que vou explicar no passo seguinte.

Passo 4

Enunciado e explicação do Teorema do posto-nulidade (rank–nullity) — e prova curta e intuitiva.
Teorema do posto-nulidade: para uma transformação linear T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,
\dim(\mathbb{R}^m)=\rank(T)+\nullity(T),
ou seja,
m=\rank(T)+\nullity(T).
Explicação intuitiva e prova curta (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Tome uma base da \ker(T). Seja essa base formada por k vetores; então \nullity(T)=k. Se \ker(T)=\{0\} então k=0.
  2. Como a base da \ker(T) não gera todo \mathbb{R}^m (exceto no caso trivial), podemos estendê-la a uma base de \mathbb{R}^m: isto é, acrescentamos mais vetores v_{k+1},\dots,v_m de modo que
\{\,\text{base de }\ker(T)\,\}\cup\{v_{k+1},\dots,v_m\}
é uma base de \mathbb{R}^m. Pelo número total de vetores, o tamanho dessa base completa é m.
3) A imagem dos vetores estendidos, \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_m)\}, gera \operatorname{Im}(T). Além disso, esses vetores são linearmente independentes (se houvesse combinação linear nula com coeficientes não todos nulos, a combinação nos levaria a um vetor do núcleo distinto de zero, contradizendo a construção).
4) Portanto \operatorname{Im}(T) tem uma base com m-k vetores, ou seja \rank(T)=m-k.
5) Rearranjando, m=\rank(T)+k. Mas k=\nullity(T). Assim provamos o teorema.
Esse teorema é uma ferramenta padrão em provas: ele relaciona diretamente a dimensão do domínio com as dimensões do núcleo e da imagem.

Passo 5

Aplicando o teorema ao caso em que T é injetiva.
Se T é injetiva, do Passo 2 temos \ker(T)=\{0\}. Então
\nullity(T)=\dim(\ker(T))=0.
Usando o teorema do posto-nulidade (Passo 4),
m=\rank(T)+\nullity(T)=\rank(T)+0,
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m=\rank(T).

Passo 6

Por que \rank(T)\leqslant n e conclusão final.
A imagem \operatorname{Im}(T) é um subespaço de \mathbb{R}^n. Qualquer subespaço de \mathbb{R}^n tem dimensão menor ou igual a n. Em termos de posto:
\rank(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))\leqslant n.
Combinação com o resultado do Passo 5 ( m=\rank(T)) dá
m=\rank(T)\leqslant n,
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova na prova (como lembrar e aplicar rapidamente).
Interpretação: uma aplicação linear injetiva não pode “espremer” um espaço de dimensão maior num espaço de dimensão menor sem colidir vetores — se m>n, sempre haverá vetores distintos com mesma imagem (pense em empurrar mais vetores em menos “coordenadas”).
Dica prática para prova rápida em prova: diga que injetividade implica \ker(T)=\{0\}, aplique posto–nulidade m=\rank(T)+0, e observe \rank(T)\le n porque \operatorname{Im}(T)\subseteq\mathbb{R}^n. Então finalize m\le n. É curtinho e seguro.

Resposta

m \leqslant n

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