Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dado por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}, x_{4}+x_{1}\right)
(a) Escreva a matriz de T.
(b) Determine \operatorname{ker}(T).
(c) Determine \operatorname{Im}(T).
(d) Verifique o Teorema da Dimensão.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\quad T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1}+x_{2},\,x_{2}+x_{3},\,x_{3}+x_{4},\,x_{4}+x_{1}).
Pede-se:
(a) a matriz de T na base canônica;
(b) \ker(T);
(c) \Im(T);
(d) verificar \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=4.

Passo 2

Para achar a matriz A de T, aplicamos T aos vetores da base canônica \,e_{1}=(1,0,0,0),\,e_{2}=(0,1,0,0),\,e_{3}=(0,0,1,0),\,e_{4}=(0,0,0,1)
e tomamos essas imagens como colunas de A:
T(e_{1})=(1,0,0,1),\quad T(e_{2})=(1,1,0,0),\quad T(e_{3})=(0,1,1,0),\quad T(e_{4})=(0,0,1,1).
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A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para \ker(T)\) resolvemos \(A(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}=0\), isto é o sistema \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=0,\\\ x_{2}+x_{3}=0,\\\ x_{3}+x_{4}=0,\\\ x_{4}+x_{1}=0. \end{cases}
Da primeira equação x_{2}=-x_{1}\]. Da segunda \(x_{3}=-x_{2}=x_{1}. Da terceira x_{4}=-x_{3}=-x_{1}. A quarta fica automática. Assim
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = t\,(1,-1,1,-1),\quad t\in\mathbb{R},
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\ker(T)=\Span\{(1,-1,1,-1)\},\quad \dim\ker(T)=1.

Passo 4

\Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A. Vemos que há exatamente uma relação linear
c_{1}+c_{3}-c_{2}-c_{4}=0,
onde c_{j} são as colunas, então \rank(A)=3. Alternativamente, notamos que para todo y=T(x)
y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4} =(x_{1}+x_{2})-(x_{2}+x_{3})+(x_{3}+x_{4})-(x_{4}+x_{1})=0,
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\Im(T)=\{(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4}=0\}, \quad \dim\Im(T)=3.

Passo 5

Teorema da dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) diz
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+3=4=\dim(\mathbb{R}^{4}),
confirmando o resultado.

Resposta

(a)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) \ker(T)=\Span\{(1,-1,1,-1)\}.
(c) \Im(T)=\{(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})\mid y_{1}-y_{2}+y_{3}-y_{4}=0\},\\ \dim=3.
(d) \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+3=4.

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