Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e considere o operador T: V \rightarrow V definido por
T(p(x))=p^{\prime}(x)+x p(x)
(a) Verifique a linearidade.
(b) Escreva a matriz de T na base \left\{1, x, x^{2}\right\}.
(c) Determine \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), o espaço das polinômios de grau até 2, e o operador
T\colon V \to V,\qquad T\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+x\,p(x).
Pede-se (a) verificar linearidade, (b) escrever a matriz de T na base \{1,x,x^2\} e (c) determinar \ker(T) e \Im(T).

Passo 2

Para que T esteja bem definido em V, ao aplicá-lo a qualquer polinômio de grau <=2 o resultado também precisa ter grau <=2.
Tome p(x)=x^2\in V. Então
p'(x)=2x, \quad x\,p(x)=x^3,
logo
T\bigl(x^2\bigr)=2x + x^3.
Mas 2x + x^3 é de grau 3, isto é, não pertence a \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Portanto T(x^2)\notin V.

Resposta

Não é possível fazer (a), (b) nem (c) porque T não leva polinômios de grau <=2 em polinômios de grau <=2: T não está bem definido como operador de V em V.

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