Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e considere o operador T: V \rightarrow V definido por
T(p(x))=p^{\prime}(x)+x p(x)
(a) Verifique a linearidade.
(b) Escreva a matriz de T na base \left\{1, x, x^{2}\right\}.
(c) Determine \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau <=2) e define
T\colon V\to V,\qquad T\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+x\,p(x).
O que se pede é:
  1. Mostrar que T é linear.
  2. Escrever a matriz de T na base \{1,x,x^2\}.
  3. Determinar \ker(T) e \Im(T).
    Para isso vamos usar que derivação e multiplicação por x são operações lineares, e depois calcular T nos vetores da base.

Passo 2

Para verificar a linearidade tomemos p,q\in V e \alpha\in\mathbb{R}. Então
T(p+q)= (p+q)' + x\,(p+q) = p' + q' + x\,p + x\,q = T(p) + T(q),
e
T(\alpha\,p)= (\alpha\,p)' + x\;(\alpha\,p) = \alpha\,p' + \alpha\,x\,p = \alpha\,(p'+x\,p) = \alpha\,T(p).
Logo T é de fato uma transformação linear (soma de operadores lineares).

Passo 3

Agora calculamos T nos vetores da base:
T(1)=1'+x\cdot1 = 0 + x = x,
T(x)=x' + x\cdot x = 1 + x^2,
T(x^2)=(x^2)' + x\cdot x^2 = 2x + x^3.
Repare que 2x + x^3 tem termo em x^3, que não pertence a \mathcal{P}_2(\mathbb{R}). Portanto a imagem de x^2 não fica em V, o que mostra que T não fecha em V e logo não é um endomorfismo de \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).

Passo 4

Como T(x^2)\notin V, não faz sentido falar numa matriz 3\times3 de T em \{1,x,x^2\}. Mas podemos, mesmo assim, ver o núcleo e a imagem restrita:
Para \ker(T), resolvemos
T\bigl(a + b\,x + c\,x^2\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; (a + b\,x + c\,x^2)' + x\,(a + b\,x + c\,x^2)=0.
Escrevendo,
(b + 2c\,x) + (a\,x + b\,x^2 + c\,x^3)=0 \;\Longrightarrow\; c\,x^3 + b\,x^2 + (2c + a)\,x + b = 0.
Igualando coeficientes em cada potência de x (até x^3), vemos que a única solução real é a=b=c=0. Logo
\ker(T)=\{0\}.
Para \Im(T), a imagem de V está gerada pelos vetores
T(1)=x,\; T(x)=1+x^2,\; T(x^2)=2x+x^3.
Assim
\Im(T)=\Span\{\,x,\;1+x^2,\;2x+x^3\},
que na verdade não é subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (por causa de x^3).

Resposta

(a) T é linear, pois derivação e multiplicação por x são lineares.
(b) Não existe matriz 3\times3 de T em \{1,x,x^2\}, pois T(x^2)=2x+x^3\notin \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
(c) \ker(T)=\{0\} e \Im(T)=\Span\{x,\;1+x^2,\;2x+x^3\}, que não está contido em \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).

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