Seja
e considere o operador
definido por
(a) Verifique a linearidade.
(b) Escreva a matriz de
na base
.
(c) Determine
e
.
(b) Escreva a matriz de
(c) Determine
Passo 1
O enunciado diz que
(polinômios de grau
) e define
O que se pede é:
- Mostrar que
é linear. - Escrever a matriz de
na base . - Determinar
e .
Para isso vamos usar que derivação e multiplicação porsão operações lineares, e depois calcular nos vetores da base.
Passo 2
Para verificar a linearidade tomemos
e
. Então
e
Logo
é de fato uma transformação linear (soma de operadores lineares).
Passo 3
Agora calculamos
nos vetores da base:
Repare que
tem termo em
, que não pertence a
. Portanto a imagem de
não fica em
, o que mostra que
não fecha em
e logo não é um endomorfismo de
.
Passo 4
Como
, não faz sentido falar numa matriz
de
em
. Mas podemos, mesmo assim, ver o núcleo e a imagem restrita:
Para , resolvemos
Para
Escrevendo,
Igualando coeficientes em cada potência de
(até
), vemos que a única solução real é
. Logo
Para
, a imagem de
está gerada pelos vetores
Assim
que na verdade não é subespaço de
(por causa de
).
Resposta
(a)
é linear, pois derivação e multiplicação por
são lineares.
(b) Não existe matriz de
em
, pois
.
(c) e
, que não está contido em
.
(b) Não existe matriz
(c)