Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear definido por T(x, y)=\left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{3}\right), para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}. Mostre que [T]_{\gamma}=M^{-1}[T]_{\beta} M, onde M é a matriz mudança de base \beta=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{2} para \gamma=\left\{v_{1}=(1,-1), v_{2}=(2,3)\right\} \subset \mathbb{R}^{2}
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
Construir a matriz M de mudança de base de \beta para \gamma.
Lembrete/forma de usar: a matriz de mudança de base M que leva coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta (ou seja, expressão dos vetores de \gamma na base padrão) tem como colunas as coordenadas, na base \beta, dos vetores v_1 e v_2. Como v_1=(1,-1) e v_2=(2,3) na base padrão, temos
Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, a inversa (quando existe) é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aqui a=1,\\ b=2,\\ c=-1,\\ d=3, então o determinante é
Calcular M^{-1}[T]_{\beta}M em duas etapas: primeiro [T]_{\beta}M, depois multiplicar por M^{-1}.
Primeiro calcule [T]_{\beta}M. Observe que as colunas de M são v_1 e v_2 em coordenadas padrão, logo as colunas de [T]_{\beta}M são T(v_1) e T(v_2) em coordenadas padrão.
Calcular [T]_{\gamma} diretamente (confirmação). Lembrete: a coluna j de [T]_{\gamma} é a coordenada do vetor T(v_j) escrita na base \gamma. Já calculamos T(v_1)=(1,0) e T(v_2)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right) em coordenadas padrão.
Agora expressar esses vetores como combinações lineares de v_1=(1,-1) e v_2=(2,3).
Para T(v_1)=(1,0) procurar \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1)+\beta(2,3)=(1,0).
Isso dá o sistema
\alpha+2\beta=1,\qquad -\alpha+3\beta=0.
Somando as equações: 5\beta=1\Rightarrow\beta=\tfrac{1}{5}. Então \alpha=1-2\beta=1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5}. Logo a primeira coluna de [T]_{\gamma} é \begin{pmatrix}\tfrac{3}{5}\\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, que coincide com a primeira coluna encontrada em M^{-1}[T]_{\beta}M.
Para T(v_2)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right) procurar \alpha,\beta tais que
Então \alpha=-\tfrac{1}{2}-2\beta=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{14}{30}=-\tfrac{29}{30}. Assim a segunda coluna é \begin{pmatrix}-\tfrac{29}{30}\\[4pt]\tfrac{7}{30}\end{pmatrix}, que coincide com a segunda coluna encontrada em M^{-1}[T]_{\beta}M.
Portanto [T]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{29}{30}\\[6pt]\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{30}\end{pmatrix}, igual a M^{-1}[T]_{\beta}M.]
Passo 7
Conclusão final: verificou-se computacionalmente que