Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear definido por T(x, y)=\left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{3}\right), para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}. Mostre que [T]_{\gamma}=M^{-1}[T]_{\beta} M, onde M é a matriz mudança de base \beta=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{2} para \gamma=\left\{v_{1}=(1,-1), v_{2}=(2,3)\right\} \subset \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=\left(\dfrac{x-y}{2},\dfrac{x+y}{3}\right).
As bases são
\beta=\{e_{1}=(1,0),\; e_{2}=(0,1)\}, \qquad \gamma=\{v_{1}=(1,-1),\; v_{2}=(2,3)\}.
O que se pede: mostrar a igualdade matricial
[T]_{\gamma}=M^{-1}[T]_{\beta}M,
onde M é a matriz de mudança de base de \beta para \gamma.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de T em coordenadas padrão (isso permite calcular [T]_{\beta}).
  • Os vetores de \gamma dados em coordenadas padrão (isso permite construir M).
  • A relação a ser demonstrada envolve inversa de M e produto matricial.

Passo 2

Calcular [T]_{\beta} (matriz de T na base padrão \beta).
Lembrete/forma de usar: para a base padrão \beta=\{e_1,e_2\}, a coluna j de [T]_{\beta} é a coordenada de T(e_j) na base padrão. Ou seja,
[T]_{\beta}=\big[\,T(e_1)\;\;T(e_2)\,\big]
escrita como matriz cujas colunas são T(e_1) e T(e_2).
Calcule T(e_1)=T(1,0) e T(e_2)=T(0,1):
T(1,0)=\left(\dfrac{1-0}{2},\dfrac{1+0}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right),
T(0,1)=\left(\dfrac{0-1}{2},\dfrac{0+1}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right).
Portanto
[T]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Construir a matriz M de mudança de base de \beta para \gamma.
Lembrete/forma de usar: a matriz de mudança de base M que leva coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta (ou seja, expressão dos vetores de \gamma na base padrão) tem como colunas as coordenadas, na base \beta, dos vetores v_1 e v_2. Como v_1=(1,-1) e v_2=(2,3) na base padrão, temos
M=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular M^{-1}.
Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, a inversa (quando existe) é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aqui a=1,\\ b=2,\\ c=-1,\\ d=3, então o determinante é
\det(M)=1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3+2=5.
Logo
M^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular M^{-1}[T]_{\beta}M em duas etapas: primeiro [T]_{\beta}M, depois multiplicar por M^{-1}.
Primeiro calcule [T]_{\beta}M. Observe que as colunas de M são v_1 e v_2 em coordenadas padrão, logo as colunas de [T]_{\beta}M são T(v_1) e T(v_2) em coordenadas padrão.
Calcule T(v_1)=T(1,-1) e T(v_2)=T(2,3):
T(1,-1)=\left(\dfrac{1-(-1)}{2},\dfrac{1+(-1)}{3}\right)=\left(1,0\right),
T(2,3)=\left(\dfrac{2-3}{2},\dfrac{2+3}{3}\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right).
Então
[T]_{\beta}M=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & \tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Agora multiplique M^{-1} por esse resultado:
M^{-1}[T]_{\beta}M=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & \tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Calcule coluna a coluna.
Primeira coluna:
\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5}\\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Segunda coluna:
\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\end{pmatrix} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) + (-2)\cdot\big(\tfrac{5}{3}\big)\\[6pt]1\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)+1\cdot\big(\tfrac{5}{3}\big)\end{pmatrix} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}-\tfrac{10}{3}\\[6pt]-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Calcule as frações internas:
-\tfrac{3}{2}-\tfrac{10}{3}=-\tfrac{9+20}{6}=-\tfrac{29}{6}, \qquad -\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{-3+10}{6}=\tfrac{7}{6}.
Multiplicando por \tfrac{1}{5} obtém-se
\begin{pmatrix}-\tfrac{29}{30}\\[4pt]\tfrac{7}{30}\end{pmatrix}.
Portanto
M^{-1}[T]_{\beta}M=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{29}{30}\\[6pt]\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{30}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular [T]_{\gamma} diretamente (confirmação). Lembrete: a coluna j de [T]_{\gamma} é a coordenada do vetor T(v_j) escrita na base \gamma. Já calculamos T(v_1)=(1,0) e T(v_2)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right) em coordenadas padrão.
Agora expressar esses vetores como combinações lineares de v_1=(1,-1) e v_2=(2,3).
Para T(v_1)=(1,0) procurar \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1)+\beta(2,3)=(1,0).
Isso dá o sistema
\alpha+2\beta=1,\qquad -\alpha+3\beta=0.
Somando as equações: 5\beta=1\Rightarrow\beta=\tfrac{1}{5}. Então \alpha=1-2\beta=1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5}. Logo a primeira coluna de [T]_{\gamma} é \begin{pmatrix}\tfrac{3}{5}\\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, que coincide com a primeira coluna encontrada em M^{-1}[T]_{\beta}M.
Para T(v_2)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right) procurar \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1)+\beta(2,3)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{3}\right).
Isso dá
\alpha+2\beta=-\tfrac{1}{2},\qquad -\alpha+3\beta=\tfrac{5}{3}.
Somando: 5\beta=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{7}{6}\Rightarrow \beta=\tfrac{7}{30}.
Então \alpha=-\tfrac{1}{2}-2\beta=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{14}{30}=-\tfrac{29}{30}. Assim a segunda coluna é \begin{pmatrix}-\tfrac{29}{30}\\[4pt]\tfrac{7}{30}\end{pmatrix}, que coincide com a segunda coluna encontrada em M^{-1}[T]_{\beta}M.
Portanto [T]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{29}{30}\\[6pt]\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{30}\end{pmatrix}, igual a M^{-1}[T]_{\beta}M.]

Passo 7

Conclusão final: verificou-se computacionalmente que
[T]_{\gamma}=M^{-1}[T]_{\beta}M,
com
[T]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\quad M^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
e
[T]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{29}{30}\\[6pt]\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{30}\end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\quad M^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \
[T]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{29}{30}\\[6pt]\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{30}\end{pmatrix}=M^{-1}[T]_{\beta}M]

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