Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função. Decida em quais casos T é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
T(x, y)=(x-y, x+y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x-y,\;x+y).
Pede-se:
  • Decidir em quais casos T é um operador linear (isto é, se é linear como transformação de vetores).
  • Se possível, determinar os autovalores e autovetores de T.
Informações dadas: a regra explícita de imagem de um vetor (x,y). Não há mais restrições no enunciado (por exemplo, sobre estender escalares a \mathbb{C}), então o espaço de partida e chegada é \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição de operador linear (aula curta e direta). Uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha, valem as propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Aqui V=W=\mathbb{R}^2. Vou verificar essas propriedades para a regra dada.
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =( (x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+(y_1+y_2) ).
Agora T(u)+T(v) é
T(u)=(x_1-y_1,\;x_1+y_1),\qquad T(v)=(x_2-y_2,\;x_2+y_2),
T(u)+T(v)=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\; (x_1+y_1)+(x_2+y_2)\big),
que, ao agrupar, é exatamente
\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+(y_1+y_2)\big).
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).
Para homogeneidade, seja \alpha\in\mathbb{R}. Temos
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1),
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\;\alpha y_1)=(\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha x_1+\alpha y_1)=\alpha(x_1-y_1,\;x_1+y_1)=\alpha T(u).
Ambas propriedades valem, logo T é um operador linear em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Matriz de T e porque isso facilita cálculos. Como T é linear, existe uma matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) tal que T(v)=A v para todo v\in\mathbb{R}^2. Tomando vetores canônicos:
T(1,0)=(1,1),\qquad T(0,1)=(-1,1).
Colocando essas colunas, a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: para v=(x,y),
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x-y\\[4pt]x+y\end{pmatrix}=T(x,y).]

Passo 4

Definição de autovalor/autovetor (aula curta). Um número \lambda é autovalor de T e v\neq 0 é autovetor associado se
T(v)=\lambda v.
Em termos da matriz A, isso equivale a procurar \lambda e v\neq 0 tais que
(A-\lambda I)v=0.
Existem soluções não-triviais exatamente quando \det(A-\lambda I)=0. Portanto devemos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).

Passo 5

Cálculo do polinômio característico e simplificação (contas detalhadas).
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-(-1)(1)=(1-\lambda)^2+1.
Desenvolvendo,
(1-\lambda)^2+1=1-2\lambda+\lambda^2+1=\lambda^2-2\lambda+2.
Logo o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2-2\lambda+2.]

Passo 6

Resolução da equação característica para obter autovalores.
Para achar \lambda resolvemos
\lambda^2-2\lambda+2=0.
Usando fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
Portanto os autovalores são \lambda_1=1+i e \lambda_2=1-i. Observe que esses são números complexos (não reais). Como consequência, T não tem autovalores reais e, portanto, não tem autovetores reais não-nulos.

Passo 7

Autovetores em \mathbb{C}^2 (se for permitido trabalhar sobre escalares complexos). O enunciado original fala de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; sobre \mathbb{R} não há autovetores não-nulos. Se, no entanto, permitirmos autovetores em \mathbb{C}^2 (complexificação), podemos encontrá-los.
Para \lambda=1+i resolvemos (A-(1+i)I)v=0. A matriz é
A-(1+i)I=\begin{pmatrix}-i & -1\\[4pt]1 & -i\end{pmatrix}.
Sistematizando as equações para v=(x,y):
-i x - y = 0,\qquad x - i y = 0.
Da primeira equação vem y=-i x. Tomando x=1 (escolha de escala), obtemos um autovetor associado a \lambda=1+i:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Para \lambda=1-i temos
A-(1-i)I=\begin{pmatrix}i & -1\\[4pt]1 & i\end{pmatrix},
e as equações dão y= i x. Tomando x=1 obtemos um autovetor associado a \lambda=1-i:
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.
Esses vetores são não-nulos em \mathbb{C}^2 e satisfazem A v_1=(1+i)v_1 e A v_2=(1-i)v_2.]

Passo 8

Interpretação geométrica rápida e conclusão intuitiva (valiosa para prova). Identificando (x,y)\in\mathbb{R}^2 com o número complexo z=x+iy, a aplicação T corresponde à multiplicação por 1+i:
(1+i)(x+iy)=(x-y)+i(x+y),
o que, em coordenadas reais, é exatamente T(x,y)=(x-y,x+y). Multiplicar por 1+i é aplicar uma dilatação de fator |1+i|=\sqrt{2} seguida de uma rotação de ângulo \arg(1+i)=\pi/4. Como essa transformação gira todo vetor por \pi/4 além de dilatá-lo, não existe direção real fixa (exceto o vetor zero) — por isso não há autovetores reais. Em \mathbb{C}^2, porém, os autovalores refletem o fator complexo 1\pm i e os autovetores complexos aparecem conforme calculado.

Resposta

T é um operador linear em \mathbb{R}^2.\n
Não existem autovalores nem autovetores reais não-nulos para T (ou seja, não há autovetores em \mathbb{R}^2).\n
Se permitir trabalhar em \mathbb{C}^2, os autovalores são \lambda=1\pm i com autovetores correspondentes, por exemplo, v_{1}=(1,-i)^{T} para \lambda=1+i e v_{2}=(1,i)^{T} para \lambda=1-i.

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