Seja
uma função. Decida em quais casos
é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
Pede-se:
- Decidir em quais casos
é um operador linear (isto é, se é linear como transformação de vetores). - Se possível, determinar os autovalores e autovetores de
.
Informações dadas: a regra explícita de imagem de um vetor
. Não há mais restrições no enunciado (por exemplo, sobre estender escalares a
), então o espaço de partida e chegada é
.
Passo 2
Definição de operador linear (aula curta e direta). Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as propriedades:
Aqui
. Vou verificar essas propriedades para a regra dada.
Sejam
e
. Então
Aplicando
ao somatório:
Agora
é
que, ao agrupar, é exatamente
Portanto
.
Para homogeneidade, seja
. Temos
Ambas propriedades valem, logo
é um operador linear em
.
Passo 3
Matriz de
e porque isso facilita cálculos. Como
é linear, existe uma matriz
tal que
para todo
. Tomando vetores canônicos:
Colocando essas colunas, a matriz de
na base canônica é
Verificação rápida: para
,
]
Passo 4
Definição de autovalor/autovetor (aula curta). Um número
é autovalor de
e
é autovetor associado se
Em termos da matriz
, isso equivale a procurar
e
tais que
Existem soluções não-triviais exatamente quando
. Portanto devemos calcular o polinômio característico
.
Passo 5
Cálculo do polinômio característico e simplificação (contas detalhadas).
O determinante é
Desenvolvendo,
Logo o polinômio característico é
Passo 6
Resolução da equação característica para obter autovalores.
Para achar resolvemos
Para achar
Usando fórmula de Bhaskara:
Portanto os autovalores são
e
. Observe que esses são números complexos (não reais). Como consequência,
não tem autovalores reais e, portanto, não tem autovetores reais não-nulos.
Passo 7
Autovetores em
(se for permitido trabalhar sobre escalares complexos). O enunciado original fala de
; sobre
não há autovetores não-nulos. Se, no entanto, permitirmos autovetores em
(complexificação), podemos encontrá-los.
Para
resolvemos
. A matriz é
Sistematizando as equações para
:
Da primeira equação vem
. Tomando
(escolha de escala), obtemos um autovetor associado a
:
Para
temos
e as equações dão
. Tomando
obtemos um autovetor associado a
:
Esses vetores são não-nulos em
e satisfazem
e
.]
Passo 8
Interpretação geométrica rápida e conclusão intuitiva (valiosa para prova). Identificando
com o número complexo
, a aplicação
corresponde à multiplicação por
:
o que, em coordenadas reais, é exatamente
. Multiplicar por
é aplicar uma dilatação de fator
seguida de uma rotação de ângulo
. Como essa transformação gira todo vetor por
além de dilatá-lo, não existe direção real fixa (exceto o vetor zero) — por isso não há autovetores reais. Em
, porém, os autovalores refletem o fator complexo
e os autovetores complexos aparecem conforme calculado.
Resposta
Não existem autovalores nem autovetores reais não-nulos para
Se permitir trabalhar em