Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função. Decida em quais casos T é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
T(x, y)=(x-y, 2 x).

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x-y,\,2x).
O que é pedido:
  • Decidir em quais casos T é um operador linear (isto é, verificar se T é linear).
  • Se possível, determinar os autovalores e autovetores de T.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A regra de T aplicada a um par (x,y) é (x-y,2x).
  • O espaço de definição e imagem é \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa ser operador linear (explicação didática):
  • Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
    1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
    2. Homogeneidade: T(cu)=c\,T(u).
  • Outra maneira prática: T é linear se ela pode ser representada por multiplicação por uma matriz A, isto é, T(v)=A v para todo v.
Verificação direta das propriedades (passo a passo):
  • Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).Aplicando T: T(u+v)=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)\big).Agora calcule T(u)+T(v): T(u)=(x_1-y_1,\;2x_1),\qquad T(v)=(x_2-y_2,\;2x_2),
T(u)+T(v)=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;2x_1+2x_2\big).
Observa-se que as componentes coincidem term a termo, logo T(u+v)=T(u)+T(v).
  • Para homogeneidade, seja c\in\mathbb{R}. Então c u = (c x_1,\;c y_1),
T(cu)=\big(c x_1 - c y_1,\;2(c x_1)\big) = c\,(x_1-y_1,\;2x_1)=c\,T(u).
Portanto T(cu)=c\,T(u).
Conclusão deste passo: T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é um operador linear.

Passo 3

Representação matricial (método prático e explicação):
  • Para qualquer operador linear em \mathbb{R}^{2}, é útil obter a matriz associada na base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}.
  • Calcule T(e_1) e T(e_2): T(1,0)=(1-0,\;2\cdot1)=(1,2),
T(0,1)=(0-1,\;2\cdot0)=(-1,0).
  • A matriz A que representa T na base canônica tem como colunas T(e_1) e T(e_2). Assim A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix},e de fato para todo (x,y)^\top vale T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Comentário prático: sempre que uma transformação é escrita com componentes lineares em x,y (como x-y e 2x) isso já é forte indicação de que ela é linear; a verificação formal feita no passo anterior confirma isso.]

Passo 4

Definição de autovalor e autovetor e equação característica (aula rapidinha):
  • Um escalar \lambda\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) é autovalor de T se existe um vetor não-nulo v tal que T(v)=\lambda v. O vetor v correspondente é um autovetor.
  • Em termos matriciais, isso é A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.Para existir solução não-trivial v\neq 0, é necessário e suficiente que \det(A-\lambda I)=0.A expressão \det(A-\lambda I) é o polinômio característico; suas raízes são os autovalores.
Cálculo do polinômio característico:
  • Escreva A-\lambda I: A-\lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix}.
  • Calcule o determinante: \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(-\lambda)-(-1)\cdot 2 = \lambda^{2}-\lambda+2.
  • Portanto o polinômio característico é p(\lambda)=\lambda^{2}-\lambda+2.]

Passo 5

Análise das raízes do polinômio (discuta discriminante e implicações):
  • Para resolver \lambda^{2}-\lambda+2=0 use a fórmula quadrática. O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 1-8 = -7.
  • Como \Delta<0, o polinômio não tem raízes reais. Conclusão: não existem autovalores reais e, consequentemente, não existem autovetores reais não-nulos em \mathbb{R}^{2}.
Observação adicional (opcional, para completar a visão): os autovalores em \mathbb{C} são
\lambda=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{2}.
Para, por exemplo, \lambda=\dfrac{1+i\sqrt{7}}{2} um autovetor correspondente (em \mathbb{C}^{2}) pode ser escolhido como
v=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1-i\sqrt{7}\end{pmatrix},
e para o autovalor conjugado o autovetor é o conjugado complexos deste vetor. Isso mostra que A tem autovalores e autovetores sobre \mathbb{C}, mas não sobre \mathbb{R}.]

Resposta

T é um operador linear; matriz associada na base canônica \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.\nAutovalores reais: nenhum (polinômio característico \displaystyle \lambda^{2}-\lambda+2 com discriminante -7).\nAutovetores reais: nenhum.\nAutovalores complexos: \displaystyle \lambda=\dfrac{1\pm i\sqrt{7}}{2}. Autovetores complexos correspondentes: por exemplo, para \displaystyle \lambda=\dfrac{1+i\sqrt{7}}{2} um autovetor é \displaystyle \begin{pmatrix}2\\[4pt]1-i\sqrt{7}\end{pmatrix} (o outro é o conjugado).]

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