Seja
uma função. Decida em quais casos
é um operador linear e, se possível, determine seus autovalores e autovetores:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que é pedido:
- Decidir em quais casos
é um operador linear (isto é, verificar se é linear). - Se possível, determinar os autovalores e autovetores de
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A regra de
aplicada a um par é . - O espaço de definição e imagem é
.
Passo 2
O que significa ser operador linear (explicação didática):
- Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades: - Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
- Aditividade:
- Outra maneira prática:
é linear se ela pode ser representada por multiplicação por uma matriz , isto é, para todo .
Verificação direta das propriedades (passo a passo):
- Seja
e . Então Aplicando : Agora calcule :
Observa-se que as componentes coincidem term a termo, logo
.
- Para homogeneidade, seja
. Então
Portanto
.
Conclusão deste passo:
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é um operador linear.
Passo 3
Representação matricial (método prático e explicação):
- Para qualquer operador linear em
, é útil obter a matriz associada na base canônica . - Calcule
e :
- A matriz
que representa na base canônica tem como colunas e . Assim e de fato para todo vale .
Comentário prático: sempre que uma transformação é escrita com componentes lineares em
(como
e
) isso já é forte indicação de que ela é linear; a verificação formal feita no passo anterior confirma isso.]
Passo 4
Definição de autovalor e autovetor e equação característica (aula rapidinha):
- Um escalar
(ou ) é autovalor de se existe um vetor não-nulo tal que . O vetor correspondente é um autovetor. - Em termos matriciais, isso é
Para existir solução não-trivial , é necessário e suficiente que A expressão é o polinômio característico; suas raízes são os autovalores.
Cálculo do polinômio característico:
- Escreva
: - Calcule o determinante:
- Portanto o polinômio característico é
]
Passo 5
Análise das raízes do polinômio (discuta discriminante e implicações):
- Para resolver
use a fórmula quadrática. O discriminante é - Como
, o polinômio não tem raízes reais. Conclusão: não existem autovalores reais e, consequentemente, não existem autovetores reais não-nulos em .
Observação adicional (opcional, para completar a visão): os autovalores em
são
Para, por exemplo,
um autovetor correspondente (em
) pode ser escolhido como
e para o autovalor conjugado o autovetor é o conjugado complexos deste vetor. Isso mostra que
tem autovalores e autovetores sobre
, mas não sobre
.]
Resposta
T é um operador linear; matriz associada na base canônica
.\nAutovalores reais: nenhum (polinômio característico
com discriminante
).\nAutovetores reais: nenhum.\nAutovalores complexos:
. Autovetores complexos correspondentes: por exemplo, para
um autovetor é
(o outro é o conjugado).]