Seja A=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].
(a) Calcule os autovalores de A e A^{-1}.
(b) Para cada autovalor determinado em (a), determine um autovetor correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) calcular os autovalores de A e de A^{-1};
(b) para cada autovalor determinado em (a), encontrar um autovetor correspondente (vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v ou A^{-1}v=\mu v).
Informações relevantes dadas explicitamente pelo enunciado:
Os elementos de A são a_{11}=0, a_{12}=2, a_{21}=1, a_{22}=1.
Não foi dada a inversa A^{-1}; se necessária, podemos calculá-la (desde que A seja invertível).]
Passo 2
Conceitos básicos e método que vamos usar (explicação didática).
Definição: dado uma matriz quadrada B, um escalar \lambda é autovalor se existe vetor não-nulo v tal que Bv=\lambda v. Esse v é um autovetor associado a \lambda.
Para encontrar autovalores de B usamos a equação característica
\det(B-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. A determinante resulta num polinômio em \lambda; as raízes desse polinômio são os autovalores.
Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo
(B-\lambda I)v=0
para obter os autovetores (qualquer múltiplo não-nulo de uma solução serve).
Propriedade útil: se A for invertível e Av=\lambda v com \lambda\neq 0, então multiplicando por A^{-1} obtemos A^{-1}v=\dfrac{1}{\lambda}v. Assim, os autovalores de A^{-1} são os recíprocos dos autovalores de A e os autovetores são os mesmos.
Passo 3
Calcular os autovalores de A usando o polinômio característico.
Verificar que A é invertível e obter autovalores de A^{-1} por reciprocidade.
Determinante de A:
\det(A)=0\cdot 1 - 2\cdot 1=-2\neq 0,
logo A é invertível.
Pela propriedade explicada no Passo 2, os autovalores de A^{-1} são os recíprocos dos autovalores de A. Como \lambda_1=2 e \lambda_2=-1, os autovalores de A^{-1} são
\mu_1=\tfrac{1}{2},\qquad \mu_2=-1.
(Observação: o autovalor -1 é seu próprio recíproco.)
Passo 5
Encontrar um autovetor correspondente a \lambda_1=2\).
- Montamos o sistema \((A-2I)v=0\). A matriz \(A-2I\) é
\[A-2I=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}. O sistema (A-2I)v=0 escreve-se:
\begin{cases} -2x+2y=0,\\[4pt] x-y=0. \end{cases}
Da segunda equação x-y=0\] vem \(y=x. A primeira é equivalente (multiplicando a segunda por -2 dá a primeira), então temos uma única relação: y=x.
Um autovetor não-nulo que satisfaz isso é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não-nulo de v_1 também é autovetor associado a \lambda=2.]
Passo 6
Encontrar um autovetor correspondente a \lambda_2=-1\).
- Montamos \((A-(-1)I)v=(A+I)v=0\). A matriz \(A+I\) é
\[A+I=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}. O sistema (A+I)v=0 é:
\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] x+2y=0. \end{cases}
As duas equações são iguais, dando a relação x=-2y\].
- Um autovetor não-nulo que satisfaz isso é, por exemplo,
\[v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt] 1\end{pmatrix}.\]
Qualquer múltiplo não-nulo de \(v_2 também é autovetor associado a \lambda=-1.]
Passo 7
Relação com A^{-1} e verificação (opcional, para consolidar o entendimento).
Pelo argumento teórico, os autovetores de A^{-1} coincidem com os de A. Assim:
o autovetor de \mu_1=\tfrac{1}{2} (autovalor de A^{-1}) é o mesmo v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix};
o autovetor de \mu_2=-1 (autovalor de A^{-1}) é o mesmo v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Se quiser verificar numericamente, pode-se calcular explicitamente A^{-1}. Como \det(A)=-2 e a matriz adjunta de A é \begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt] -1 & 0\end{pmatrix}, tem-se