Seja A=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].
(a) Calcule os autovalores de A e A^{-1}.
(b) Para cada autovalor determinado em (a), determine um autovetor correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) calcular os autovalores de A e de A^{-1};
  • (b) para cada autovalor determinado em (a), encontrar um autovetor correspondente (vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v ou A^{-1}v=\mu v).
Informações relevantes dadas explicitamente pelo enunciado:
  • Os elementos de A são a_{11}=0, a_{12}=2, a_{21}=1, a_{22}=1.
  • Não foi dada a inversa A^{-1}; se necessária, podemos calculá-la (desde que A seja invertível).]

Passo 2

Conceitos básicos e método que vamos usar (explicação didática).
  • Definição: dado uma matriz quadrada B, um escalar \lambda é autovalor se existe vetor não-nulo v tal que Bv=\lambda v. Esse v é um autovetor associado a \lambda.
  • Para encontrar autovalores de B usamos a equação característica
\det(B-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. A determinante resulta num polinômio em \lambda; as raízes desse polinômio são os autovalores.
  • Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo
(B-\lambda I)v=0
para obter os autovetores (qualquer múltiplo não-nulo de uma solução serve).
  • Propriedade útil: se A for invertível e Av=\lambda v com \lambda\neq 0, então multiplicando por A^{-1} obtemos A^{-1}v=\dfrac{1}{\lambda}v. Assim, os autovalores de A^{-1} são os recíprocos dos autovalores de A e os autovetores são os mesmos.

Passo 3

Calcular os autovalores de A usando o polinômio característico.
  • Escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calculamos a determinante:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot 1.
  • Desenvolvendo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(1-\lambda)-2=-\lambda+\lambda^2-2=\lambda^2-\lambda-2.
  • Igualando a zero:
\lambda^2-\lambda-2=0.
  • Fatorando o polinômio:
\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).
  • Portanto as raízes (autovalores) são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 4

Verificar que A é invertível e obter autovalores de A^{-1} por reciprocidade.
  • Determinante de A:
\det(A)=0\cdot 1 - 2\cdot 1=-2\neq 0,
logo A é invertível.
  • Pela propriedade explicada no Passo 2, os autovalores de A^{-1} são os recíprocos dos autovalores de A. Como \lambda_1=2 e \lambda_2=-1, os autovalores de A^{-1} são
\mu_1=\tfrac{1}{2},\qquad \mu_2=-1.
(Observação: o autovalor -1 é seu próprio recíproco.)

Passo 5

Encontrar um autovetor correspondente a \lambda_1=2\). - Montamos o sistema \((A-2I)v=0\). A matriz \(A-2I\) é \[A-2I=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
  • Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}. O sistema (A-2I)v=0 escreve-se:
\begin{cases} -2x+2y=0,\\[4pt] x-y=0. \end{cases}
  • Da segunda equação x-y=0\] vem \(y=x. A primeira é equivalente (multiplicando a segunda por -2 dá a primeira), então temos uma única relação: y=x.
  • Um autovetor não-nulo que satisfaz isso é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não-nulo de v_1 também é autovetor associado a \lambda=2.]

Passo 6

Encontrar um autovetor correspondente a \lambda_2=-1\). - Montamos \((A-(-1)I)v=(A+I)v=0\). A matriz \(A+I\) é \[A+I=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}. O sistema (A+I)v=0 é:
\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] x+2y=0. \end{cases}
  • As duas equações são iguais, dando a relação x=-2y\]. - Um autovetor não-nulo que satisfaz isso é, por exemplo, \[v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt] 1\end{pmatrix}.\] Qualquer múltiplo não-nulo de \(v_2 também é autovetor associado a \lambda=-1.]

Passo 7

Relação com A^{-1} e verificação (opcional, para consolidar o entendimento).
  • Pelo argumento teórico, os autovetores de A^{-1} coincidem com os de A. Assim:
    • o autovetor de \mu_1=\tfrac{1}{2} (autovalor de A^{-1}) é o mesmo v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix};
    • o autovetor de \mu_2=-1 (autovalor de A^{-1}) é o mesmo v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Se quiser verificar numericamente, pode-se calcular explicitamente A^{-1}. Como \det(A)=-2 e a matriz adjunta de A é \begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt] -1 & 0\end{pmatrix}, tem-se
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)= -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 1\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.
Aplicando A^{-1} a v_1 e v_2 confirma os autovalores \tfrac{1}{2} e -1, respectivamente.]

Resposta

Autovalores de A: \lambda=2,\\\ -1
Autovalores de A^{-1}: \mu=\tfrac{1}{2},\\\ -1
Autovetor associado a \lambda=2: \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não-nulo)
Autovetor associado a \lambda=-1: \begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não-nulo)
Autovetor associado a \mu=\tfrac{1}{2} (de A^{-1}): \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}
Autovetor associado a \mu=-1 (de A^{-1}): \begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}]

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