Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z). Considere as bases
A=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} \quad \text { e } \quad B=\{(2,1),(5,3)\},
do \mathbb{R}^{3} e do \mathbb{R}^{2}, respectivamente.
(a) Determine [T]_{B}^{A}.
(b) Se v=(3,-4,2) (coordenadas em relação a base canônica do \mathbb{R}^{3} ), calcule [T(v)]_{B} utilizando a matriz encontrada.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (2x - y + z,\;3x + y - 2z),
e pede:
a) a matriz de T relativa à base A=\{a_1,a_2,a_3\} do domínio e à base B=\{b_1,b_2\} do contradomínio, onde
b) para v=(3,-4,2) (coordenadas canônicas em \mathbb{R}^3), calcular o vetor de coordenadas de T(v) na base B, usando a matriz encontrada.
Os conceitos necessários são: aplicação de T a vetores da base A, decomposição em coordenadas relativas a B, mudança de base e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Calcular [T(a_i)) em coordenadas canônicas e depois expressar cada T(a_i) como combinação de b_1 e b_2.
Encontrar as coordenadas de v=(3,-4,2)\) na base \(A\).
Procuramos \(c_1,c_2,c_3\) tais que
\[c_1\,a_1 + c_2\,a_2 + c_3\,a_3 = (c_1,\;c_1+c_2,\;c_1+c_2+c_3) = (3,-4,2).