Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z). Considere as bases
A=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} \quad \text { e } \quad B=\{(2,1),(5,3)\},
do \mathbb{R}^{3} e do \mathbb{R}^{2}, respectivamente.
(a) Determine [T]_{B}^{A}.
(b) Se v=(3,-4,2) (coordenadas em relação a base canônica do \mathbb{R}^{3} ), calcule [T(v)]_{B} utilizando a matriz encontrada.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (2x - y + z,\;3x + y - 2z),
e pede:
a) a matriz de T relativa à base A=\{a_1,a_2,a_3\} do domínio e à base B=\{b_1,b_2\} do contradomínio, onde
a_1=(1,1,1),\;a_2=(0,1,1),\;a_3=(0,0,1), \quad b_1=(2,1),\;b_2=(5,3).
b) para v=(3,-4,2) (coordenadas canônicas em \mathbb{R}^3), calcular o vetor de coordenadas de T(v) na base B, usando a matriz encontrada.
Os conceitos necessários são: aplicação de T a vetores da base A, decomposição em coordenadas relativas a B, mudança de base e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Calcular [T(a_i)) em coordenadas canônicas e depois expressar cada T(a_i) como combinação de b_1 e b_2.
1. Para a_1=(1,1,1):
T(a_1) = (2\cdot1 -1 +1,\;3\cdot1 +1 -2) = (2,2).
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_1 + \beta\,b_2 = (\,2,2)\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2\alpha + 5\beta = 2,\\\ \alpha + 3\beta = 2. \end{cases}
Resolvendo dá \alpha=-4\], \[\beta=2.
2. Para a_2=(0,1,1):
T(a_2) = (0,-1).
\alpha\,b_1 + \beta\,b_2 = (0,-1) leva ao sistema
\begin{cases} 2\alpha + 5\beta = 0,\\\ \alpha + 3\beta = -1, \end{cases}
cuja solução é \alpha=5\], \[\beta=-2.
3. Para a_3=(0,0,1):
T(a_3) = (1,-2).
\alpha\,b_1 + \beta\,b_2 = (1,-2) leva ao sistema
\begin{cases} 2\alpha + 5\beta = 1,\\\ \alpha + 3\beta = -2, \end{cases}
cuja solução é \alpha=13\], \(\beta=-5.
Logo, a matriz de T de A em B tem colunas dadas pelos vetores de coordenadas (\alpha,\beta) obtidos:
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} -4 & 5 & 13\\\\ 2 & -2 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Encontrar as coordenadas de v=(3,-4,2)\) na base \(A\). Procuramos \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1\,a_1 + c_2\,a_2 + c_3\,a_3 = (c_1,\;c_1+c_2,\;c_1+c_2+c_3) = (3,-4,2).
Isto dá o sistema
\begin{cases} c_1 = 3,\\\ c_1 + c_2 = -4,\\\ c_1 + c_2 + c_3 = 2, \end{cases}
cuja solução é (c_1=3,;c_2=-7,;c_3=6].
Portanto
[v]_{A} = \begin{pmatrix}3\\\ -7\\\ 6\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular
[T(v)]_{B} = [T]_{B}^{A} \cdot [v]_{A} = \begin{pmatrix} -4 & 5 & 13\\\\ 2 & -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -7\\\ 6\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação:
\begin{pmatrix} -4 \cdot 3 + 5 \cdot (-7) + 13 \cdot 6\\[6pt] 2 \cdot 3 + (-2) \cdot (-7) + (-5) \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 - 35 + 78\\\\ 6 + 14 - 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31\\\\ -10 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} -4 & 5 & 13\\\\ 2 & -2 & -5 \end{pmatrix}.
(b)
[T(v)]_{B} = \begin{pmatrix} 31\\\\ -10 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados