Encontre a equação da circunferência. Encontre as coordenadas do centro e o raio. Faça um desenho da curva.
x^{2}+y^{2}+4 x-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação na forma canônica de uma circunferência, determinar o centro e o raio, e fazer um esboço da curva. O conteúdo envolve completar o quadrado nos termos em x e em y.

Passo 2

Começamos agrupando e completando quadrados:
x^{2}+4x + y^{2}-8y =0.
Para completar quadrado em x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2} - 4.
Para completar quadrado em y:
y^{2}-8y = (y-4)^{2} - 16.
Substituindo:
(x+2)^{2} -4 + (y-4)^{2} -16 = 0
\Rightarrow (x+2)^{2} + (y-4)^{2} = 20.

Passo 3

Da forma canônica (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2} obtemos:
x_{0} = -2,\quad y_{0} = 4,\quad r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Logo, o centro é C(-2,4) e o raio é 2\sqrt{5}.

Passo 4

Para esboçar a circunferência:
  • Marque o ponto C(-2,4).
  • A partir dele, trace a distância r=2\sqrt{5} em várias direções.
  • Ligue esses pontos formando um círculo.
Segue um esboço aproximado em coordenadas:
\uparrow y
8 |
|
6 | . . . . .
| . .
4 | . C .
| . .
2 | . . . . .
+-------------------- \to x
- 4 - 20 24

Resposta

Equação canônica:
(x+2)^{2} + (y-4)^{2} = 20.
Centro: C(-2,4).
Raio: r = 2\sqrt{5}.

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