Sejam B_{1}, B_{2}, B_{3} e B_{4} bases do \mathbb{R}^{2}, determine [I]_{B_{3}}^{B_{1}} sabendo que
[I]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad[I]_{B_{3}}^{B_{4}}=\left[\begin{array}{cc} -4 & 0 \\\\ 1 & 5 \end{array}\right] \text { e } \quad[I]_{B_{4}}^{B_{2}}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 4 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta quatro bases \,B_{1},B_{2},B_{3},B_{4} de \mathbb{R}^2 e pede a matriz de mudança de base
\,[I]_{B_{3}}^{B_{1}}, ou seja, a matriz que transforma coordenadas em B_{3} nas coordenadas em B_{1}.
O conteúdo aqui é composição de matrizes de mudança de base: se temos
\,[I]_{B_{j}}^{B_{i}}
que leva de B_{j}-coordenadas a B_{i}-coordenadas, então para ir de B_{3} a B_{1} podemos passar por B_{4} e B_{2}.

Passo 2

A cadeia de mudanças de base é
\,B_{3}\to B_{4}, depois B_{4}\to B_{2}, e por fim B_{2}\to B_{1}.
Em termos de matrizes:
[I]_{B_{3}}^{B_{1}} = [I]_{B_{2}}^{B_{1}}\;\bigl[I]_{B_{4}}^{B_{2}}\;\bigl[I]_{B_{3}}^{B_{4}}.

Passo 3

Substituindo as matrizes dadas:
[I]_{B_{2}}^{B_{1}} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad [I]_{B_{4}}^{B_{2}} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad [I]_{B_{3}}^{B_{4}} = \begin{pmatrix} -4 & 0\\\\ 1 & 5 \end{pmatrix}.
Primeiro calcule
M = [I]_{B_{2}}^{B_{1}}\,[I]_{B_{4}}^{B_{2}} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 8 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora multiplique M por [I]_{B_{3}}^{B_{4}}:
M \cdot [I]_{B_{3}}^{B_{4}} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 8 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 0\\\\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-4)+1\cdot1 & (-1)\cdot0+1\cdot5\\[6pt] 8\cdot(-4)+2\cdot1 & 8\cdot0+2\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5\\\\ -30 & 10 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{B_{3}}^{B_{1}} = \begin{pmatrix} 5 & 5\\\\ -30 & 10 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados