Verifique se a transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(x+y, x-2 y) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x+y,\;x-2y)
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) para todo u,v\in\mathbb{R}^2.
  2. T(\alpha u) = \alpha\,T(u) para todo \alpha\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Considere vetores u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)\bigr).
Reagrupando termos,
T(u+v) = \bigl(x_1+y_1 + x_2+y_2,\;x_1-2y_1 + x_2-2y_2\bigr).
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x_1+y_1,\;x_1-2y_1) + (x_2+y_2,\;x_2-2y_2) = \bigl(x_1+y_1 + x_2+y_2,\;x_1-2y_1 + x_2-2y_2\bigr).
Logo, T(u+v) = T(u) + T(v).

Passo 3

Agora, seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y)
e
T(\alpha u) = \bigl(\alpha x + \alpha y,\;\alpha x - 2\alpha y\bigr) = \bigl(\alpha(x+y),\;\alpha(x-2y)\bigr) = \alpha\,(x+y,\;x-2y) = \alpha\,T(u).
Assim, T(\alpha u) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Como T preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que T é linear.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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