Seja
a transformação linear definida por
.
(a) Determine o núcleo de
e uma base para este subespaço.
(b) Determine a imagem de
e sua respectiva base.
(c) A transformação
é injetora? É sobrejetora? Justifique com base nas dimensões encontradas.
(a) Determine o núcleo de
(b) Determine a imagem de
(c) A transformação
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As perguntas são:
(a) Determinar o núcleo de (escrito
ou
) e uma base desse subespaço.
(b) Determinar a imagem de (escrito
) e uma base para ela.
(c) Dizer se é injetora e/ou sobrejetora, justificando com base nas dimensões encontradas.
(a) Determinar o núcleo de
(b) Determinar a imagem de
(c) Dizer se
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de
(os dois componentes em função de
) e os espaços de partida e chegada
e
.
Passo 2
O núcleo de
é o conjunto de vetores
que são enviados ao vetor nulo em
. Logo precisamos resolver
Isto gera o sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo o sistema do núcleo passo a passo:
A segunda equação dá
A segunda equação dá
A primeira equação dá
Então todos os vetores do núcleo têm a forma
Tomando o parâmetro
, obtemos
Portanto uma base do núcleo é
e
.
Passo 4
Pequena explicação didática sobre o que fizemos no núcleo:
- O núcleo é o conjunto de entradas que vão para o vetor zero. Para encontrar uma base, escrevemos as equações que impõem que as componentes da imagem sejam zero e resolvemos para as coordenadas de entrada.
- Quando a solução fica expressa por um parâmetro multiplicando um vetor fixo, esse vetor fixo gera o núcleo (é uma base quando o parâmetro é único, aqui um parâmetro então dimensão 1).
Passo 5
Agora vamos para a imagem. Uma forma prática: calcular as imagens dos vetores da base canônica de
,
e ver o subespaço gerado por essas imagens.
Calculemos:
Passo 6
A imagem de
é o span das imagens dos vetores da base canônica:
Precisamos simplificar para obter uma base (ou mostrar que é todo
). Note que já aparecem os vetores
e
. Esses dois vetores são linearmente independentes e geram
(são, até sinais, a base canônica). Assim qualquer combinação linear em
pode ser escrita com eles; em particular
é combinação:
Logo
está no span de
e
. Portanto
Assim uma base conveniente para
é
(ou
); e
.
Passo 7
Explicação didática sobre a imagem e independência:
- A imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como
quando percorre . - Ao calcular
nas bases canônicas e obter dois vetores linearmente independentes em , concluímos que a imagem tem dimensão e, como tem dimensão , a imagem coincide com todo . - Para decidir independência em
é suficiente ver que os vetores não são múltiplos entre si (por exemplo e não são múltiplos).
Passo 8
Agora respondendo (c) sobre injetividade e sobrejetividade, usando as dimensões e o teorema fundamental (teorema do posto-nuloidade):
O teorema do posto-nuloidade para
diz
Aqui
. Verificamos
e
, e de fato
.
-
é injetora se e somente se (ou seja ). Como , não é injetora. -
é sobrejetora se (ou equivalentemente , a dimensão do contradomínio). Como e o contradomínio é , é sobrejetora.
Resposta
(a)
. Base:
.
(b) . Base: por exemplo
.
(c) não é injetora (porque
);
é sobrejetora (porque
e o contradomínio tem dimensão
).
(b)
(c)