Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(z-2 y, y-x).
(a) Determine o núcleo de T(\operatorname{Nuc}(T)) e uma base para este subespaço.
(b) Determine a imagem de T(\operatorname{Im}(T)) e sua respectiva base.
(c) A transformação T é injetora? É sobrejetora? Justifique com base nas dimensões encontradas.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(z-2y,\;y-x).
As perguntas são:
(a) Determinar o núcleo de T (escrito \operatorname{Nuc}(T) ou \ker T) e uma base desse subespaço.
(b) Determinar a imagem de T (escrito \operatorname{Im}(T)) e uma base para ela.
(c) Dizer se T é injetora e/ou sobrejetora, justificando com base nas dimensões encontradas.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de T (os dois componentes em função de x,y,z) e os espaços de partida e chegada \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2.

Passo 2

O núcleo de T é o conjunto de vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que são enviados ao vetor nulo em \mathbb{R}^2. Logo precisamos resolver
T(x,y,z)=(z-2y,\;y-x)=(0,0).
Isto gera o sistema de equações:
\begin{cases} z-2y=0,\\[4pt] y-x=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolvendo o sistema do núcleo passo a passo:
A segunda equação dá
y-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=y.
A primeira equação dá
z-2y=0 \quad\Rightarrow\quad z=2y.
Então todos os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z)=(y,y,2y)=y\,(1,1,2).
Tomando o parâmetro t=y\in\mathbb{R}, obtemos
\ker T=\{t(1,1,2)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,2)\}.
Portanto uma base do núcleo é \{(1,1,2)\} e \dim(\ker T)=1.

Passo 4

Pequena explicação didática sobre o que fizemos no núcleo:
  • O núcleo é o conjunto de entradas que vão para o vetor zero. Para encontrar uma base, escrevemos as equações que impõem que as componentes da imagem sejam zero e resolvemos para as coordenadas de entrada.
  • Quando a solução fica expressa por um parâmetro multiplicando um vetor fixo, esse vetor fixo gera o núcleo (é uma base quando o parâmetro é único, aqui um parâmetro então dimensão 1).

Passo 5

Agora vamos para a imagem. Uma forma prática: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3,
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1),
e ver o subespaço gerado por essas imagens.
Calculemos:
T(e_1)=T(1,0,0)=(0-0,\;0-1)=(0,-1),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0-2,\;1-0)=(-2,1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1-0,\;0-0)=(1,0).

Passo 6

A imagem de T é o span das imagens dos vetores da base canônica:
\operatorname{Im} T=\operatorname{span}\{(0,-1),\;(-2,1),\;(1,0)\}.
Precisamos simplificar para obter uma base (ou mostrar que é todo \mathbb{R}^2). Note que já aparecem os vetores (1,0) e (0,-1). Esses dois vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2 (são, até sinais, a base canônica). Assim qualquer combinação linear em \mathbb{R}^2 pode ser escrita com eles; em particular (-2,1) é combinação:
(-2,1) = -2\,(1,0) + 1\,(0,1) = -2\,(1,0) -1\,(0,-1).
Logo (-2,1) está no span de (1,0) e (0,-1). Portanto
\operatorname{Im} T=\operatorname{span}\{(1,0),\;(0,-1)\}=\mathbb{R}^2.
Assim uma base conveniente para \operatorname{Im} T é \{(1,0),\;(0,1)\} (ou \{(1,0),(0,-1)\}); e \dim(\operatorname{Im} T)=2.

Passo 7

Explicação didática sobre a imagem e independência:
  • A imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como T(v) quando v percorre \mathbb{R}^3.
  • Ao calcular T nas bases canônicas e obter dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, concluímos que a imagem tem dimensão 2 e, como \mathbb{R}^2 tem dimensão 2, a imagem coincide com todo \mathbb{R}^2.
  • Para decidir independência em \mathbb{R}^2 é suficiente ver que os vetores não são múltiplos entre si (por exemplo (1,0) e (0,-1) não são múltiplos).

Passo 8

Agora respondendo (c) sobre injetividade e sobrejetividade, usando as dimensões e o teorema fundamental (teorema do posto-nuloidade):
O teorema do posto-nuloidade para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m diz
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=n.
Aqui n=3. Verificamos \dim(\ker T)=1 e \dim(\operatorname{Im} T)=2, e de fato 1+2=3.
  • T é injetora se e somente se \ker T=\{0\} (ou seja \dim(\ker T)=0). Como \dim(\ker T)=1\neq0, T não é injetora.
  • T é sobrejetora se \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2 (ou equivalentemente \dim(\operatorname{Im} T)=2, a dimensão do contradomínio). Como \dim(\operatorname{Im} T)=2 e o contradomínio é \mathbb{R}^2, T é sobrejetora.

Resposta

(a) \ker T=\{t(1,1,2)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,2)\}. Base: \{(1,1,2)\}.
(b) \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2. Base: por exemplo \{(1,0),(0,1)\}.
(c) T não é injetora (porque \dim\ker T=1\neq0); T é sobrejetora (porque \dim\operatorname{Im} T=2 e o contradomínio tem dimensão 2).

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