Verifique se as funções
abaixo são transformações lineares:
Passo 1
O enunciado dá uma função
cuja definição é:
A pergunta é: verificar se
é uma transformação linear, ou seja, decidir se
satisfaz as propriedades de linearidade para todos os vetores em
e todos os escalares reais.
Resumo das informações relevantes:
- Domínio:
. - Contradomínio:
(matrizes com entradas reais). - Regra:
. - O que precisa ser testado: duas propriedades (aditividade e homogeneidade) ou uma verificação equivalente.]
Passo 2
Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem
e
- Aqui vetores em
escrevemos como , . A soma e a multiplicação por escalar em são as componentes típicas: e . - No contradomínio
, a soma de matrizes e a multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada. Por exemplo, a soma de
e é .
Passo 3
Uma observação prática que ajuda muito em provas: se cada entrada da matriz
é uma combinação linear (sem termo constante) de
e
, então
costuma ser linear. Aqui cada entrada é linear em
e
(sem termos independentes). Vou transformar
numa soma ponderada por
e
, isto é, achar matrizes
e
tais que
Calcule
e
:
Verifique agora que
Essa escrita mostra imediatamente que cada entrada de
é linear em
e
.]
Passo 4
Agora faço a verificação direta das duas propriedades (passo-a-passo com notação):
- Aditividade. Seja
e . Então
Calcule
:
Agrupando termos:
Por outro lado,
é
Portanto
. A propriedade de aditividade está verificada.]
Passo 5
- Homogeneidade (multiplicação por escalar). Seja
e . Então
Calcule
:
Isso é exatamente
Portanto a homogeneidade também vale para todo escalar
.]
Passo 6
Comentário pedagógico final (como reconhecer rápido numa prova):
- Uma maneira rápida de checar linearidade é ver se cada componente da saída é uma função linear das componentes de entrada (sem termos constantes). Aqui as entradas da matriz são
, todas expressões lineares em e sem termo independente; isso já é um forte indício e, combinando com as verificações formais acima, confirma a linearidade. - Outra verificação simples e necessária (mas não suficiente) é
zero matriz; aqui
o que acontece, mas lembrando que isso só confirma a ausência de termo constante.]
Passo 7
Conclusão: ambas as propriedades da linearidade foram verificadas por cálculo direto (aditividade e homogeneidade) e também se obteve a representação
com
matrizes fixas, portanto
é linear.
Resposta
Sim.
é transformação linear.