Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \quad T(x, y)=\left[\begin{array}{cc}2 x & x-y \\\ x+y & 2 y\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma função T cuja definição é:
T:\mathbb{R}^2 \to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\qquad T(x,y)=\begin{pmatrix}2x & x-y \\[4pt] x+y & 2y\end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear, ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades de linearidade para todos os vetores em \mathbb{R}^2 e todos os escalares reais.
Resumo das informações relevantes:
  • Domínio: \mathbb{R}^2.
  • Contradomínio: M_{2\times2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • Regra: (x,y)\mapsto\begin{pmatrix}2x & x-y \\\ x+y & 2y\end{pmatrix}.
  • O que precisa ser testado: duas propriedades (aditividade e homogeneidade) ou uma verificação equivalente.]

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
  • Aqui vetores em \mathbb{R}^2 escrevemos como u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2). A soma e a multiplicação por escalar em \mathbb{R}^2 são as componentes típicas: u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2) e c\,u=(c x_1,\;c y_1).
  • No contradomínio M_{2\times2}(\mathbb{R}), a soma de matrizes e a multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada. Por exemplo, a soma de
    \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}a'&b'\c'&d'\end{pmatrix} é \begin{pmatrix}a+a'&b+b'\c+c'&d+d'\end{pmatrix}.

Passo 3

Uma observação prática que ajuda muito em provas: se cada entrada da matriz T(x,y) é uma combinação linear (sem termo constante) de x e y, então T costuma ser linear. Aqui cada entrada é linear em x e y (sem termos independentes). Vou transformar T numa soma ponderada por x e y, isto é, achar matrizes A e B tais que
T(x,y)=xA+yB.
Calcule A=T(1,0) e B=T(0,1):
A=T(1,0)=\begin{pmatrix}2\cdot1 & 1-0 \\[4pt] 1+0 & 2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=T(0,1)=\begin{pmatrix}2\cdot0 & 0-1 \\[4pt] 0+1 & 2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Verifique agora que
xA+yB =\;x\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x & x-y \\[4pt] x+y & 2y\end{pmatrix} = T(x,y).
Essa escrita mostra imediatamente que cada entrada de T(x,y) é linear em x e y.]

Passo 4

Agora faço a verificação direta das duas propriedades (passo-a-passo com notação):
  1. Aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Calcule T(u+v):
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =\begin{pmatrix}2(x_1+x_2) & (x_1+x_2)-(y_1+y_2) \\[4pt] (x_1+x_2)+(y_1+y_2) & 2(y_1+y_2)\end{pmatrix}.
Agrupando termos:
T(u+v)=\begin{pmatrix}2x_1+2x_2 & (x_1-y_1)+(x_2-y_2) \\[4pt] (x_1+y_1)+(x_2+y_2) & 2y_1+2y_2\end{pmatrix}.
Por outro lado, T(u)+T(v) é
T(u)+T(v) =\begin{pmatrix}2x_1 & x_1-y_1 \\[4pt] x_1+y_1 & 2y_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2x_2 & x_2-y_2 \\[4pt] x_2+y_2 & 2y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x_1+2x_2 & (x_1-y_1)+(x_2-y_2) \\[4pt] (x_1+y_1)+(x_2+y_2) & 2y_1+2y_2\end{pmatrix}.
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v). A propriedade de aditividade está verificada.]

Passo 5

  1. Homogeneidade (multiplicação por escalar). Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
c\,u=(c x,\;c y).
Calcule T(cu):
T(cu)=T(c x,\;c y)=\begin{pmatrix}2(cx) & cx-cy \\[4pt] cx+cy & 2(cy)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c(2x) & c(x-y) \\[4pt] c(x+y) & c(2y)\end{pmatrix}.
Isso é exatamente
T(cu)=c\begin{pmatrix}2x & x-y \\[4pt] x+y & 2y\end{pmatrix}=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale para todo escalar c.]

Passo 6

Comentário pedagógico final (como reconhecer rápido numa prova):
  • Uma maneira rápida de checar linearidade é ver se cada componente da saída é uma função linear das componentes de entrada (sem termos constantes). Aqui as entradas da matriz são 2x,\;x-y,\;x+y,\;2y, todas expressões lineares em x e y sem termo independente; isso já é um forte indício e, combinando com as verificações formais acima, confirma a linearidade.
  • Outra verificação simples e necessária (mas não suficiente) é T(0,0)= zero matriz; aqui
T(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
o que acontece, mas lembrando que isso só confirma a ausência de termo constante.]

Passo 7

Conclusão: ambas as propriedades da linearidade foram verificadas por cálculo direto (aditividade e homogeneidade) e também se obteve a representação T(x,y)=xA+yB com A,B matrizes fixas, portanto T é linear.

Resposta

Sim. T é transformação linear.

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