Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear tal que T\left(e_{1}\right)=(1,2), T\left(e_{2}\right)=(0,1) e T\left(e_{3}\right)=(-1,3), sendo \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(a) Determine o N(T) e uma de suas bases. T é injetora?
(b) Determine a \operatorname{Im}(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com imagens nos vetores da base canônica. Vamos usar representação matricial para achar o núcleo (resolvendo T(x,y,z)=0) e a imagem (colunas da matriz).
Passo 2
Como T(e_1)=(1,2), T(e_2)=(0,1) e T(e_3)=(-1,3), a matriz de T na base canônica é
\begin{cases} x - z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem z=x. Substituindo na segunda:
2x + y + 3x = 0 \implies 5x + y = 0 \implies y = -5x.
Assim
(x,y,z) = x\,(1,-5,1),\quad x\in\mathbb{R},
logo
N(T) = \{\,x(1,-5,1)\mid x\in\mathbb{R}\}
e uma base é \{(1,-5,1)\}.
Como \dim N(T)=1>0, T não é injetora.
Passo 4
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
\Im(T) = \Span\{(1,2),\,(0,1),\,(-1,3)\}.
Observamos que
(-1,3) = -1\,(1,2) +5\,(0,1),
então
\Im(T) = \Span\{(1,2),\,(0,1)\}.
Esses dois vetores são independentes em \mathbb{R}^2, formam uma base de \mathbb{R}^2 e \dim\Im(T)=2, igual à dimensão do contradomínio. Logo T é sobrejetora.
Resposta
(a) N(T)=\{x(1,-5,1)\mid x\in\mathbb{R}\}. Uma base é \{(1,-5,1)\}. T não é injetora.
(b) \Im(T)=\Span\{(1,2),(0,1)\}. Uma base é \{(1,2),(0,1)\}. T é sobrejetora.