Sejam
e
espaços vetoriais e
uma transformação linear. Prove que
Sejam
e
transformações lineares, e
e
escalares. Prove que
, definida por
também é transformação linear.
Sejam
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, dadas duas transformações lineares
e dois escalares
, a aplicação
é também linear. Para isso precisamos verificar que
satisfaz as duas propriedades de linearidade:
- aditividade:
para todos ; - homogeneidade:
para todo escalar e todo .
Passo 2
Verificação da aditividade. Sejam
. Então
Como
e
são lineares,
para
. Logo
Reagrupando termos,
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então
Pela linearidade de
e
,
para
. Portanto
Resposta
Concluímos que
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, logo
é transformação linear.