Seja T: \mathbf{M}(2,2) \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por
T\left(\left[\begin{array}{cc} x & y \\\ z & w \end{array}\right]\right)=(x+w, y+z) .
Sejam \alpha e \beta as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbf{M}(2,2), respectivamente, e \gamma=\{(1,-1),(1,2)\}. Encontre [T]_{\alpha}^{\beta} e [T]_{\gamma}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbf{M}(2,2)\to\mathbb{R}^{2} definida por
T\left(\begin{pmatrix}x & y \\\ z & w\end{pmatrix}\right)=(x+w,\;y+z).
As bases fornecidas são:
  • \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2} (ou seja, \alpha=\{(1,0),(0,1)\}).
  • \beta é a base canônica de \mathbf{M}(2,2). Vou escrever explicitamente os vetores de \beta (os quatro matrizes canônicas):
\beta=\left\{E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
  • \gamma=\{(1,-1),(1,2)\} é outra base de \mathbb{R}^{2}.
O que o exercício pede:
  • Encontrar [T]_{\alpha}^{\beta}.
  • Encontrar [T]_{\gamma}^{\beta}.
(Observação: em ambas as notações a segunda letra indica a base do domínio \mathbf{M}(2,2) — aqui \beta — e a primeira letra indica a base do contradomínio \mathbb{R}^2 — aqui \alpha ou \gamma. A coluna j da matriz de T é as coordenadas de T aplicado ao j-ésimo vetor de \beta, escritas na base do contradomínio.)]

Passo 2

Estratégia geral e conceito usado (passo-a-passo do que fazer na prova):
  • Para montar a matriz de uma transformação linear T relativa a uma base do domínio e uma base do contradomínio, aplica-se T a cada vetor da base do domínio e escreve-se o resultado nas coordenadas da base do contradomínio; essas coordenadas formam as colunas da matriz.
  • Aqui o domínio tem 4 vetores na base \beta, então a matriz terá 4 colunas; o contradomínio tem dimensão 2, então a matriz será 2\times4.
  • Primeiro vou calcular T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}).
  • Para [T]_{\alpha}^{\beta} (base do contradomínio \alpha = canônica), as coordenadas são simplesmente os próprios vetores em \mathbb{R}^2.
  • Para [T]_{\gamma}^{\beta} preciso escrever cada resultado como combinação linear de (1,-1) e (1,2). Vou resolver isso usando a matriz cujas colunas são os vetores de \gamma e invertendo-a (ou resolvendo o sistema 2×2).

Passo 3

Calcular T aplicado aos vetores da base \beta. Para cada E_{ij} identifico (x,y,z,w) e uso a fórmula T(\cdot)=(x+w,\;y+z).
  • Para E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix} temos x=1,\;y=0,\;z=0,\;w=0. Logo
T(E_{11})=(1+0,\;0+0)=(1,0).
  • Para E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix} temos x=0,\;y=1,\;z=0,\;w=0. Logo
T(E_{12})=(0+0,\;1+0)=(0,1).
  • Para E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix} temos x=0,\;y=0,\;z=1,\;w=0. Logo
T(E_{21})=(0+0,\;0+1)=(0,1).
  • Para E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix} temos x=0,\;y=0,\;z=0,\;w=1. Logo
T(E_{22})=(0+1,\;0+0)=(1,0).
Resumo dos resultados (peguei esses vetores aplicando T como acima):
T(E_{11})=(1,0),\quad T(E_{12})=(0,1),\quad T(E_{21})=(0,1),\quad T(E_{22})=(1,0).]

Passo 4

Montar [T]_{\alpha}^{\beta}. Como \alpha é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as coordenadas de cada T(E_{ij}) nessa base são justamente os próprios vetores (\cdot,\cdot). As colunas seguem a ordem dos vetores de \beta: E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}. Assim a matriz é
[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira coluna é T(E_{11})=(1,0), a segunda é T(E_{12})=(0,1), etc.]

Passo 5

Preparar para [T]_{\gamma}^{\beta}. Agora preciso escrever cada vetor T(E_{ij}) como combinação da base \gamma=\{v_{1},v_{2}\} com v_{1}=(1,-1) e v_{2}=(1,2). Ou seja, para um vetor v\in\mathbb{R}^2 quero encontrar coordenadas (a,b) tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}=v.
Colocando em forma matricial, se P é a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2}, então P=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-1&2\end{pmatrix} e as coordenadas c=(a,b)^{T} satisfazem P\,c=v. Assim c=P^{-1}v. Vou calcular P^{-1}.]

Passo 6

Calcular P^{-1} e as coordenadas de cada vetor.
A matriz P e seu determinante:
P=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-1&2\end{pmatrix},\qquad \det(P)=1\cdot 2 - 1\cdot(-1)=2+1=3.
A inversa de uma 2\times2 é P^{-1}=\dfrac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d&-b\\[2pt]-c&a\end{pmatrix} para P=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}. Assim
P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora aplico P^{-1} a cada T(E_{ij}).
  • Para T(E_{11})=(1,0):
P^{-1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/3\\[2pt]1/3\end{pmatrix}.
Logo as coordenadas de T(E_{11}) na base \gamma são \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • Para T(E_{12})=(0,1):
P^{-1}\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1/3\\[2pt]1/3\end{pmatrix}.
Então coordenadas \left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • Para T(E_{21})=(0,1) é o mesmo caso que acima, então as coordenadas também são \left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • Para T(E_{22})=(1,0) é igual ao primeiro caso, então as coordenadas são \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).]

Passo 7

Montar [T]_{\gamma}^{\beta}. As colunas são as coordenadas em \gamma de T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}), na ordem da base \beta. Assim
[T]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
[T]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados