Seja
, definida por
Sejam
e
as bases canônicas de
e
, respectivamente, e
. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As bases fornecidas são:
-
é a base canônica de (ou seja, ). -
é a base canônica de . Vou escrever explicitamente os vetores de (os quatro matrizes canônicas):
-
é outra base de .
O que o exercício pede:
- Encontrar
. - Encontrar
.
(Observação: em ambas as notações a segunda letra indica a base do domínio
— aqui
— e a primeira letra indica a base do contradomínio
— aqui
ou
. A coluna
da matriz de
é as coordenadas de
aplicado ao
-ésimo vetor de
, escritas na base do contradomínio.)]
Passo 2
Estratégia geral e conceito usado (passo-a-passo do que fazer na prova):
- Para montar a matriz de uma transformação linear
relativa a uma base do domínio e uma base do contradomínio, aplica-se a cada vetor da base do domínio e escreve-se o resultado nas coordenadas da base do contradomínio; essas coordenadas formam as colunas da matriz. - Aqui o domínio tem 4 vetores na base
, então a matriz terá 4 colunas; o contradomínio tem dimensão 2, então a matriz será . - Primeiro vou calcular
. - Para
(base do contradomínio = canônica), as coordenadas são simplesmente os próprios vetores em . - Para
preciso escrever cada resultado como combinação linear de e . Vou resolver isso usando a matriz cujas colunas são os vetores de e invertendo-a (ou resolvendo o sistema 2×2).
Passo 3
Calcular
aplicado aos vetores da base
. Para cada
identifico
e uso a fórmula
.
- Para
temos . Logo
- Para
temos . Logo
- Para
temos . Logo
- Para
temos . Logo
Resumo dos resultados (peguei esses vetores aplicando
como acima):
Passo 4
Montar
. Como
é a base canônica
, as coordenadas de cada
nessa base são justamente os próprios vetores
. As colunas seguem a ordem dos vetores de
:
. Assim a matriz é
Explicando: a primeira coluna é
, a segunda é
, etc.]
Passo 5
Preparar para
. Agora preciso escrever cada vetor
como combinação da base
com
e
. Ou seja, para um vetor
quero encontrar coordenadas
tais que
Colocando em forma matricial, se
é a matriz cujas colunas são
, então
e as coordenadas
satisfazem
. Assim
. Vou calcular
.]
Passo 6
Calcular
e as coordenadas de cada vetor.
A matriz
e seu determinante:
A inversa de uma
é
para
. Assim
Agora aplico
a cada
.
- Para
:
Logo as coordenadas de
na base
são
.
- Para
:
Então coordenadas
.
-
Para
é o mesmo caso que acima, então as coordenadas também são . -
Para
é igual ao primeiro caso, então as coordenadas são .]
Passo 7
Montar
. As colunas são as coordenadas em
de
, na ordem da base
. Assim