formam uma base de \mathbf{M}(2,2). Isso significa que qualquer matriz
\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\in\mathbf{M}(2,2)
pode ser escrita de forma única como combinação linear
\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.
Agora, a propriedade-chave de uma transformação linear T é que ela preserva combinações lineares: para quaisquer escalares \alpha,\beta e matrizes M,N,
T(\alpha M+\beta N)=\alpha T(M)+\beta T(N).
Isso é exatamente o que vamos usar: conhecendo T nas matrizes da base, sabemos T para qualquer matriz.]
Passo 3
Usando linearidade e as imagens fornecidas, escrevemos T em função das entradas a,b,c,d.
Para uma matriz genérica \begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} vale
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a\,T(E_{11}) + b\,T(E_{12}) + c\,T(E_{21}) + d\,T(E_{22}).
Substituindo as imagens que o enunciado deu,
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a(-t+t^{2}) + b(-1+t) + c(3t) + d(2).]
Passo 4
Agora desenvolvemos e agrupamos os termos por potências de t. Escrevo primeiro a soma completa:
a(-t+t^{2}) + b(-1+t) + c(3t) + d(2).
Separando os coeficientes de t^{2}, de t e do termo constante:
Coeficiente de t^{2}: vem só de a(-t+t^{2}), que é a. Então o termo em t^{2} é a\,t^{2}.
Coeficiente de t: vem de a(-t), de b(+t) e de c(3t). Somando: -a + b + 3c. Então o termo em t é (-a + b + 3c)\,t.
Termo constante: vem de b(-1) e de d(2). Somando: -b + 2d.
Portanto, a forma simplificada é
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a\,t^{2} + (-a + b + 3c)\,t + (-b + 2d).
Isto é a descrição completa da transformação linear T para qualquer matriz 2\times2.]
Passo 5
Agora aplico essa fórmula ao caso específico pedido: \begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}. Aqui a=1, b=2, c=3, d=4.
Calculo os coeficientes:
\text{coef. de }t^{2}=a=1,
\text{coef. de }t = -a + b + 3c = -1 + 2 + 3\cdot 3 = -1 + 2 + 9 = 10,