Determine a transformação linear T: \mathbf{M}(2,2) \rightarrow \mathcal{P}_{2} que satisfaz:
T\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=-t+t^{2}, T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=-1+t, T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right)=3 t, T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)=2 .
Além disso, encontre T\left(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
O enunciado dá as imagens de quatro matrizes canônicas em \mathbf{M}(2,2):
T\!\left(\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix}\right)=-t+t^{2},\quad T\!\left(\begin{bmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix}\right)=-1+t,
T\!\left(\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}\right)=3t,\quad T\!\left(\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}\right)=2.
O enunciado pede:
  1. Determinar explicitamente a transformação linear T:\mathbf{M}(2,2)\to\mathcal{P}_2 (ou seja, dar uma fórmula para T aplicada a uma matriz qualquer).
  2. Calcular T\!\left(\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}\right).
Todas as informações relevantes já estão listadas acima (as imagens das quatro matrizes de base).]

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado devagar): as matrizes
E_{11}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix},\quad E_{12}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix},\quad E_{21}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix},\quad E_{22}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}
formam uma base de \mathbf{M}(2,2). Isso significa que qualquer matriz
\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\in\mathbf{M}(2,2)
pode ser escrita de forma única como combinação linear
\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.
Agora, a propriedade-chave de uma transformação linear T é que ela preserva combinações lineares: para quaisquer escalares \alpha,\beta e matrizes M,N,
T(\alpha M+\beta N)=\alpha T(M)+\beta T(N).
Isso é exatamente o que vamos usar: conhecendo T nas matrizes da base, sabemos T para qualquer matriz.]

Passo 3

Usando linearidade e as imagens fornecidas, escrevemos T em função das entradas a,b,c,d.
Para uma matriz genérica \begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} vale
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a\,T(E_{11}) + b\,T(E_{12}) + c\,T(E_{21}) + d\,T(E_{22}).
Substituindo as imagens que o enunciado deu,
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a(-t+t^{2}) + b(-1+t) + c(3t) + d(2).]

Passo 4

Agora desenvolvemos e agrupamos os termos por potências de t. Escrevo primeiro a soma completa:
a(-t+t^{2}) + b(-1+t) + c(3t) + d(2).
Separando os coeficientes de t^{2}, de t e do termo constante:
  • Coeficiente de t^{2}: vem só de a(-t+t^{2}), que é a. Então o termo em t^{2} é a\,t^{2}.
  • Coeficiente de t: vem de a(-t), de b(+t) e de c(3t). Somando: -a + b + 3c. Então o termo em t é (-a + b + 3c)\,t.
  • Termo constante: vem de b(-1) e de d(2). Somando: -b + 2d.
Portanto, a forma simplificada é
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right) = a\,t^{2} + (-a + b + 3c)\,t + (-b + 2d).
Isto é a descrição completa da transformação linear T para qualquer matriz 2\times2.]

Passo 5

Agora aplico essa fórmula ao caso específico pedido: \begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}. Aqui a=1, b=2, c=3, d=4.
Calculo os coeficientes:
\text{coef. de }t^{2}=a=1,
\text{coef. de }t = -a + b + 3c = -1 + 2 + 3\cdot 3 = -1 + 2 + 9 = 10,
\text{constante} = -b + 2d = -2 + 2\cdot 4 = -2 + 8 = 6.
Logo
T\!\left(\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}\right)=1\cdot t^{2} + 10\cdot t + 6,
ou seja
T\!\left(\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}\right)=t^{2}+10t+6.]

Resposta

T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right)=a\,t^{2}+(-a+b+3c)\,t+(-b+2d)
T\!\left(\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}\right)=t^{2}+10t+6]

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