Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que satisfaz:
T(1,0,0)=(2,0), \quad T(0,1,0)=(1,1) \quad \text { e } \quad T(0,0,1)=(0,-1) .
Além disso, encontre v \in \mathbb{R}^{3} tal que T(v)=(3,2).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente a imagem dos três vetores canônicos de \mathbb{R}^3:
  • T(1,0,0)=(2,0).
  • T(0,1,0)=(1,1).
  • T(0,0,1)=(0,-1).
O que ele pede:
  1. Determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que satisfaz essas três condições.
  2. Encontrar v\in\mathbb{R}^3 tal que T(v)=(3,2).

Passo 2

Lembrete prático (sem complicar): uma transformação linear T é totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Se conhecemos T(e_1),T(e_2),T(e_3), podemos escrever a matriz de T (na base canônica) tomando essas imagens como colunas.
Aqui as colunas são exatamente os vetores fornecidos. Então a matriz A de T (forma 2\times3) é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(1,0,0)=(2,0), a segunda é T(0,1,0)=(1,1) e a terceira é T(0,0,1)=(0,-1).]

Passo 3

Agora vamos transformar essa matriz em uma fórmula prática para T. Seja v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Pela linearidade,
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Substituindo as imagens dadas,
T(x,y,z)=x(2,0)+y(1,1)+z(0,-1).

Passo 4

Agora somamos coordenada a coordenada para obter a fórmula explícita. Fazendo as contas:
  • Primeira coordenada: 2x + 1\cdot y + 0\cdot z = 2x+y.
  • Segunda coordenada: 0x + 1\cdot y + (-1)\cdot z = y-z.
Portanto, para todo v=(x,y,z),
T(x,y,z)=(2x+y,\; y-z).

Passo 5

Agora resolvemos a condição T(v)=(3,2)\). Seja \(v=(x,y,z)\). Então devemos ter o sistema \[\begin{cases} 2x+y=3,\\[4pt] y-z=2. \end{cases}
Esse é um sistema com 3 incógnitas e 2 equações, logo terá infinitas soluções (grau de liberdade 1). Vamos parametrizar.
Da segunda equação obtemos
y=2+z.
Substituindo na primeira:
2x+(2+z)=3 \quad\Rightarrow\quad 2x=1-z \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1-z}{2}.
Tomando z\] como parâmetro livre \(t\in\mathbb{R}, obtemos a família de soluções
v(t)=\left(\dfrac{1-t}{2},\;2+t,\;t\right),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Para ficar com um exemplo concreto (às vezes em prova pedem “um” vetor), basta escolher um valor para t. Por exemplo, escolhendo t=1 temos
v=\left(\dfrac{1-1}{2},\;2+1,\;1\right)=(0,3,1).
Conferência rápida: usando a fórmula de T,
T(0,3,1)=(2\cdot0+3,\;3-1)=(3,2),
logo funciona certinho.

Resposta

T(x,y,z)=(2x+y,\;y-z) (matriz de T: \displaystyle\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix})
v=\left(\dfrac{1-t}{2},\;2+t,\;t\right),\\ t\in\mathbb{R}. Por exemplo, v=(0,3,1) é uma solução.]

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