Determine a transformação linear
que satisfaz:
Além disso, encontre
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente a imagem dos três vetores canônicos de
:
-
. -
. -
.
O que ele pede:
- Determinar a transformação linear
que satisfaz essas três condições. - Encontrar
tal que .
Passo 2
Lembrete prático (sem complicar): uma transformação linear
é totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica
,
,
. Se conhecemos
, podemos escrever a matriz de
(na base canônica) tomando essas imagens como colunas.
Aqui as colunas são exatamente os vetores fornecidos. Então a matriz
de
(forma
) é
onde a primeira coluna é
, a segunda é
e a terceira é
.]
Passo 3
Agora vamos transformar essa matriz em uma fórmula prática para
. Seja
. Pela linearidade,
Substituindo as imagens dadas,
Passo 4
Agora somamos coordenada a coordenada para obter a fórmula explícita. Fazendo as contas:
- Primeira coordenada:
. - Segunda coordenada:
.
Portanto, para todo
,
Passo 5
Agora resolvemos a condição
Esse é um sistema com 3 incógnitas e 2 equações, logo terá infinitas soluções (grau de liberdade 1). Vamos parametrizar.
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira:
Tomando
, obtemos a família de soluções
Passo 6
Para ficar com um exemplo concreto (às vezes em prova pedem “um” vetor), basta escolher um valor para
. Por exemplo, escolhendo
temos
Conferência rápida: usando a fórmula de
,
logo funciona certinho.