Seja
definida por
. Mostre que
é um isomorfismo. Qual é a matriz de
em relação às bases canônicas?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas são:
- Mostrar que
é um isomorfismo. - Encontrar a matriz de
em relação às bases canônicas (ou seja, a base canônica de é e a base canônica de é o conjunto das coordenadas padrão).
Informações relevantes dadas:
- Domínio: o espaço de polinômios de grau menor ou igual a
, (dimensão ). - Contradomínio:
(dimensão ). - A transformação avalia um polinômio em
.
Passo 2
Verificar que
é linear (o que é necessário para poder falar de isomorfismo).
- Definição: uma transformação
é linear se, para quaisquer polinômios e escalar , - Checagem: para cada componente (cada ponto de avaliação) temos, por propriedades da soma e multiplicação de funções,
para . Assim, aplicando isso em cada coordenada, e análogamente . Logo é linear.
Passo 3
Mostrar que
é injetora (núcleo trivial).
- Definição: o núcleo de
é , ou seja, os polinômios que se anulam em . - Suponha
. Então Isto significa que tem cinco raízes distintas: . - Teorema/fato usado (explicado de forma direta): um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo raízes distintas. No nosso caso, qualquer polinômio não nulo de tem grau , então não pode ter 5 raízes distintas. Portanto a única possibilidade é que seja o polinômio zero. - Conclusão:
. Assim é injetora.
(Comentário rápido sobre por que um polinômio de grau
tem no máximo
raízes: se
tem uma raiz
, então
divide
; ao dividir sucessivamente pelas raízes distintas obtém-se um polinômio de grau menor. Depois de
raízes distintas o grau diminui em
. Não se pode ter mais raízes distintas do que o grau inicial.)
Passo 4
Concluir que
é isomorfismo usando dimensões.
- Já vimos que
é linear e injetora. - Ambos os espaços têm dimensão
: e . - Fato linear-algébrico: uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão que é injetora é também sobrejetora (e vice-versa). Portanto
é bijetora. - Assim
é um isomorfismo (linear, bijetora).
Passo 5
Construir a matriz de
nas bases canônicas.
- Procedimento: a matriz da transformação
em relação às bases canônicas tem como colunas as coordenadas (no canônico) das imagens dos vetores da base canônica do domínio. A base canônica de é . - Calcular imagens:
(Cada entrada é simplesmente o valor do monômio em
.)
- Colocando essas colunas na ordem
, a matriz de é a matriz - Observação: esta é uma matriz de Vandermonde (entradas
com ). O determinante de uma matriz de Vandermonde com pontos distintos é não nulo, o que é coerente com o fato de ser invertível (isomorfismo).]