Seja T: \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{5} definida por T(p)=(p(-2), p(-1), p(0), p(1), p(2)). Mostre que T é um isomorfismo. Qual é a matriz de T em relação às bases canônicas?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^5 definida por
T(p) = \big(p(-2),\,p(-1),\,p(0),\,p(1),\,p(2)\big).
As perguntas são:
  • Mostrar que T é um isomorfismo.
  • Encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas (ou seja, a base canônica de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) é \{1,x,x^2,x^3,x^4\} e a base canônica de \mathbb{R}^5 é o conjunto das coordenadas padrão).
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: o espaço de polinômios de grau menor ou igual a 4, \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) (dimensão 5).
  • Contradomínio: \mathbb{R}^5 (dimensão 5).
  • A transformação avalia um polinômio em x=-2,-1,0,1,2.

Passo 2

Verificar que T é linear (o que é necessário para poder falar de isomorfismo).
  • Definição: uma transformação T é linear se, para quaisquer polinômios p,q\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) e escalar \alpha\in\mathbb{R}, T(p+q)=T(p)+T(q)\quad\text{e}\quad T(\alpha p)=\alpha T(p).
  • Checagem: para cada componente (cada ponto de avaliação) temos, por propriedades da soma e multiplicação de funções, (p+q)(a)=p(a)+q(a),\qquad (\alpha p)(a)=\alpha p(a)para a\in\{-2,-1,0,1,2\}. Assim, aplicando isso em cada coordenada, T(p+q)=(p+q)(-2),\dots,(p+q)(2)=(p(-2)+q(-2)),\dots=(p(2)+q(2))=T(p)+T(q),e análogamente T(\alpha p)=\alpha T(p). Logo T é linear.

Passo 3

Mostrar que T é injetora (núcleo trivial).
  • Definição: o núcleo de T é \ker T=\{p\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\mid T(p)=0\}, ou seja, os polinômios que se anulam em -2,-1,0,1,2.
  • Suponha p\in\ker T. Então p(-2)=p(-1)=p(0)=p(1)=p(2)=0.Isto significa que p tem cinco raízes distintas: -2,-1,0,1,2.
  • Teorema/fato usado (explicado de forma direta): um polinômio não nulo de grau n pode ter no máximo n raízes distintas. No nosso caso, qualquer polinômio não nulo de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) tem grau \le 4, então não pode ter 5 raízes distintas. Portanto a única possibilidade é que p seja o polinômio zero.
  • Conclusão: \ker T=\{0\}. Assim T é injetora.
(Comentário rápido sobre por que um polinômio de grau \le n tem no máximo n raízes: se p tem uma raiz r, então (x-r) divide p; ao dividir sucessivamente pelas raízes distintas obtém-se um polinômio de grau menor. Depois de k raízes distintas o grau diminui em k. Não se pode ter mais raízes distintas do que o grau inicial.)

Passo 4

Concluir que T é isomorfismo usando dimensões.
  • Já vimos que T é linear e injetora.
  • Ambos os espaços têm dimensão 5: \dim \mathcal{P}_4(\mathbb{R})=5 e \dim\mathbb{R}^5=5.
  • Fato linear-algébrico: uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão que é injetora é também sobrejetora (e vice-versa). Portanto T é bijetora.
  • Assim T é um isomorfismo (linear, bijetora).

Passo 5

Construir a matriz de T nas bases canônicas.
  • Procedimento: a matriz da transformação T em relação às bases canônicas tem como colunas as coordenadas (no \mathbb{R}^5 canônico) das imagens dos vetores da base canônica do domínio. A base canônica de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) é \{1,x,x^2,x^3,x^4\}.
  • Calcular imagens: T(1)=(1,1,1,1,1),
T(x)=(-2,-1,0,1,2),
T(x^2)=(4,1,0,1,4),
T(x^3)=(-8,-1,0,1,8),
T(x^4)=(16,1,0,1,16).
(Cada entrada é simplesmente o valor do monômio em x=-2,-1,0,1,2.)
  • Colocando essas colunas na ordem \{1,x,x^2,x^3,x^4\}, a matriz A de T é a matriz 5\times5 A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -8 & 16\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \end{pmatrix}.
  • Observação: esta é uma matriz de Vandermonde (entradas a_i^{j-1} com a_i\in\{-2,-1,0,1,2\}). O determinante de uma matriz de Vandermonde com pontos distintos é não nulo, o que é coerente com o fato de T ser invertível (isomorfismo).]

Resposta

T é um isomorfismo. \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -8 & 16\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados